Determine o valor de k de modo que o sistema
l -x+2 y+k z=1 k x+4 y-4 z=2 2 x+y+z=-2 k
seja:
indeterminado;

Passo 1

O enunciado pede o(s) valor(es) de k para que o sistema linear
-,x + 2y + k,z = 1 k,x + 4y - 4z = 2 2x + y + z = -2k
seja indeterminado (infinitas soluções). O critério é ter posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz aumentada e ambos menores que 3.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = -1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1
e calculamos
det(A) = (-1)det!4 & -41 & 1 -2det!k & -42 & 1 +kdet!k & 42 & 1 = k^2 -10k -24
Fatorando,
det(A) = (k-12)(k+2)

Passo 3

Para ter infinitas soluções é preciso , ou seja ou . Primeiro, para a matriz aumentada
satisfaz que a terceira linha é combinação
nos coeficientes, mas essa mesma combinação nos termos independentes dá
logo o posto da aumentada é maior que o de e o sistema é impossível.

Passo 4

Para a matriz aumentada fica
Aqui tanto nos coeficientes quanto no termo independente, e é independente de . Assim
o que garante infinitas soluções.

Resposta

k = -2

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