Mostre que se é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que , então . Dica. Se e são números reais tais que , então .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se é uma matriz quadrada de ordem 2 e , então . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, transposição de matrizes e traço de uma matriz. Precisamos entender como calcular o traço de uma matriz e como relacionar isso com os elementos da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz, , é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz . No caso de , vamos calcular essa matriz produto.
Passo 3
Vamos considerar como uma matriz com elementos:
Então, sua transposta é:
Passo 4
Agora, calculamos o produto :
Passo 5
O traço de é a soma dos elementos da diagonal principal:
Portanto:
Passo 6
Segundo a dica do exercício, se , então cada termo individual deve ser zero:
Passo 7
Com todos os elementos iguais a zero, a matriz fica:
Resposta
Portanto, se tr(A A^T) = 0 para uma matriz quadrada de ordem 2, então A = 0 .