Mostre que se A é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que tr(A A^T)=0, então A=0. Dica. Se a, b, c e d são números reais tais que a^2+b^2+c^2+d^2=0, então a=b=c=d=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e tr(A A^T) = 0 , então A = 0 . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, transposição de matrizes e traço de uma matriz. Precisamos entender como calcular o traço de uma matriz e como relacionar isso com os elementos da matriz A .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz, tr(M) , é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz M . No caso de A A^T , vamos calcular essa matriz produto.

Passo 3

Vamos considerar A como uma matriz 2 times 2 com elementos:
A = a & b c & d
Então, sua transposta A^T é:
A^T = a & c b & d

Passo 4

Agora, calculamos o produto A A^T :
A A^T = a & b c & d a & c b & d = a^2 + b^2 & a c + b d a c + b d & c^2 + d^2

Passo 5

O traço de A A^T é a soma dos elementos da diagonal principal:
tr(A A^T) = (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2)
Portanto:
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = tr(A A^T) = 0

Passo 6

Segundo a dica do exercício, se a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 0 , então cada termo individual deve ser zero:
a = 0, b = 0, c = 0, d = 0

Passo 7

Com todos os elementos iguais a zero, a matriz A fica:
A = 0 & 0 0 & 0

Resposta

Portanto, se tr(A A^T) = 0 para uma matriz quadrada de ordem 2, então A = 0 .

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