Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
t y^prime-y=t, y(1)=7.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
t,y' - y = t,
com condição inicial y(1)=7. O conteúdo envolve equações lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro colocamos no formato padrão y' + P(t),y = g(t). Dividindo a equação por t (supondo tneq0), obtemos
y' - 1t,y = 1
Então P(t) = -1/t e g(t)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral -1t,dt = e^-ln|t| = t^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t)=t^-1. Isso transforma o lado esquerdo no derivado de mu(t)y:
t^-1y' - t^-2y = t^-1 Longrightarrow ddtl(ytr) = 1t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
yt = integral 1t,dt = ln|t| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Multiplicando por t e usando y(1)=7, temos
y = tln|t| + C,t,
7 = 1cdotln1 + Ccdot1 implies C = 7
Portanto, a solução particular é y(t)=tln t +7t.

Resposta

y(t)=t\ln t +7t

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