Determine o valor do parâmetro 1, para o qual as equações que se seguem definam planos perpendiculares:
\pi_{1}: 5 x+y-3 z-3=0 \quad e \quad \pi_{2}: 2 x+l y-3 z+1=0

Passo 1

O enunciado fornece duas equações de planos com um parâmetro l desconhecido:
\pi_{1}: 5x + y - 3z - 3 = 0
\pi_{2}: 2x + l y - 3z + 1 = 0
O que se pede: determinar o(s) valor(es) do parâmetro l para os quais esses dois planos são perpendiculares.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Coeficientes da equação de \pi_{1}: 5 (de x), 1 (de y), -3 (de z).
  • Coeficientes da equação de \pi_{2}: 2 (de x), l (de y), -3 (de z).
  • O parâmetro a determinar é l.

Passo 2

Extração dos vetores normais aos planos (explicação do procedimento).
  • Observação importante: para uma equação de plano geral ax + by + cz + d = 0, o vetor normal ao plano é (a,b,c). Isso acontece porque o vetor (a,b,c) é ortogonal a qualquer vetor tangente do plano — é a definição prática que usamos em provas.
  • Aplicando isso às equações dadas: n_{1} = (5,\,1,\,-3)
n_{2} = (2,\,l,\,-3)
Aqui n_{1} e n_{2} são os vetores normais a \pi_{1} e \pi_{2}, respectivamente. Cada componente do vetor normal corresponde ao coeficiente dos termos x, y e z na equação do plano.

Passo 3

Condição de perpendicularidade e produto escalar (aula rápida).
  • Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares.
  • Dois vetores \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) são perpendiculares exatamente quando o produto escalar deles é zero.
  • Definição do produto escalar em \mathbb{R}^{3}: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}.
  • Interpretação geométrica rápida (opcional): \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta, então se o produto escalar é zero, temos \cos\theta=0 e \theta=90^\circ.
Exemplo simples para fixar: os vetores (1,0,0) e (0,1,0) têm produto escalar 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 0, logo são perpendiculares.

Passo 4

Aplicar o produto escalar aos vetores normais e impor a condição de perpendicularidade.
  • Calcular o produto escalar n_{1}\cdot n_{2}: n_{1}\cdot n_{2} = (5,1,-3)\cdot(2,l,-3).Usando a definição de produto escalar: n_{1}\cdot n_{2} = 5\cdot 2 + 1\cdot l + (-3)\cdot(-3).Efetuando as multiplicações: n_{1}\cdot n_{2} = 10 + l + 9 = l + 19.
  • Como os planos devem ser perpendiculares, impomos: n_{1}\cdot n_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad l + 19 = 0.

Passo 5

Resolver a equação encontrada para determinar l.
  • A equação a resolver é l + 19 = 0.
  • Isolando l na equação acima obtém‑se o valor de l (ver seção de resposta).

Resposta

l=-19

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