Determine o valor do parâmetro 1, para o qual as equações que se seguem definam planos perpendiculares:
Passo 1
O enunciado fornece duas equações de planos com um parâmetro
desconhecido:
O que se pede: determinar o(s) valor(es) do parâmetro
para os quais esses dois planos são perpendiculares.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Coeficientes da equação de
: (de ), (de ), (de ). - Coeficientes da equação de
: (de ), (de ), (de ). - O parâmetro a determinar é
.
Passo 2
Extração dos vetores normais aos planos (explicação do procedimento).
- Observação importante: para uma equação de plano geral
, o vetor normal ao plano é . Isso acontece porque o vetor é ortogonal a qualquer vetor tangente do plano — é a definição prática que usamos em provas. - Aplicando isso às equações dadas:
Aqui
e
são os vetores normais a
e
, respectivamente. Cada componente do vetor normal corresponde ao coeficiente dos termos
,
e
na equação do plano.
Passo 3
Condição de perpendicularidade e produto escalar (aula rápida).
- Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares.
- Dois vetores
e são perpendiculares exatamente quando o produto escalar deles é zero. - Definição do produto escalar em
: - Interpretação geométrica rápida (opcional):
, então se o produto escalar é zero, temos e .
Exemplo simples para fixar: os vetores
e
têm produto escalar
, logo são perpendiculares.
Passo 4
Aplicar o produto escalar aos vetores normais e impor a condição de perpendicularidade.
- Calcular o produto escalar
: Usando a definição de produto escalar: Efetuando as multiplicações: - Como os planos devem ser perpendiculares, impomos:
Passo 5
Resolver a equação encontrada para determinar
.
- A equação a resolver é
- Isolando
na equação acima obtém‑se o valor de (ver seção de resposta).