Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto P(3 ;-6 ; 7) é paralelo aos vectores v=(1 ;-3 ; 5) e w=(2 ;-1 ; 3).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dá o ponto P(3;-6;7).
  • Dá dois vetores paralelos ao plano: v=(1;-3;5) e w=(2;-1;3).
    O que o problema pede: encontrar a equação geral do plano que passa por P e é paralelo a v e w.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): um plano pode ser escrito na forma “normal-ponto” quando se conhece um vetor normal ao plano e um ponto do plano. A forma normal-ponto é
n\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,
onde n=(a,b,c) é um vetor normal (ortogonal) ao plano e (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano. Aqui já temos o ponto P(3;-6;7). Falta achar um vetor normal n.
Como o plano é paralelo a v e w, ambos pertencem ao plano e, portanto, um vetor normal pode ser obtido como o produto vetorial (cross product) de v e w, porque o produto vetorial dá um vetor ortogonal aos dois vetores.

Passo 3

Mini-aula: o produto vetorial v\times w de dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular a ambos. Se
v=(v_1,v_2,v_3),\qquad w=(w_1,w_2,w_3),
então as componentes do produto vetorial são
v\times w=\bigl(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\bigr).
Cada uma dessas expressões vem da expansão do determinante de uma matriz 3\times3 com a base canônica; dá para calcular à mão com apenas multiplicações e subtrações.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto vetorial aos vetores dados:
v=(1,-3,5),\qquad w=(2,-1,3).
Calcule componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& v_2w_3-v_3w_2=(-3)\cdot 3 - 5\cdot(-1) = -9 + 5 = -4,\\[4pt] \text{2ª componente: }& v_3w_1-v_1w_3=5\cdot 2 - 1\cdot 3 = 10 - 3 = 7,\\[4pt] \text{3ª componente: }& v_1w_2-v_2w_1=1\cdot(-1) - (-3)\cdot 2 = -1 - (-6) = 5. \end{aligned}ªªª
Portanto o vetor normal é
n=v\times w = (-4,\,7,\,5).]

Passo 5

Agora usamos a forma normal-ponto do plano com n=(-4,7,5) e o ponto P(3,-6,7):
n\cdot\bigl((x,y,z)-(3,-6,7)\bigr)=0.
Escrevendo o produto escalar:
-4(x-3)+7(y+6)+5(z-7)=0.

Passo 6

Expandindo e simplificando a expressão anterior para obter a equação geral ax+by+cz+d=0:
\begin{aligned} -4x+12+7y+42+5z-35&=0,\\[4pt] -4x+7y+5z+(12+42-35)&=0,\\[4pt] -4x+7y+5z+19&=0. \end{aligned}
Podemos deixar a equação exatamente assim. (Se preferir, multiplicando por -1 obtemos a forma equivalente 4x-7y-5z-19=0.)]

Resposta

-4x+7y+5z+19=0

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