Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto
é paralelo aos vectores
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dá o ponto
. - Dá dois vetores paralelos ao plano:
e .
O que o problema pede: encontrar a equação geral do plano que passa pore é paralelo a e .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): um plano pode ser escrito na forma “normal-ponto” quando se conhece um vetor normal ao plano e um ponto do plano. A forma normal-ponto é
onde
é um vetor normal (ortogonal) ao plano e
é um ponto do plano. Aqui já temos o ponto
. Falta achar um vetor normal
.
Como o plano é paralelo a
e
, ambos pertencem ao plano e, portanto, um vetor normal pode ser obtido como o produto vetorial (cross product) de
e
, porque o produto vetorial dá um vetor ortogonal aos dois vetores.
Passo 3
Mini-aula: o produto vetorial
de dois vetores em
produz um vetor perpendicular a ambos. Se
então as componentes do produto vetorial são
Cada uma dessas expressões vem da expansão do determinante de uma matriz
com a base canônica; dá para calcular à mão com apenas multiplicações e subtrações.
Passo 4
Aplicando a fórmula do produto vetorial aos vetores dados:
Calcule componente a componente:
Portanto o vetor normal é
Passo 5
Agora usamos a forma normal-ponto do plano com
e o ponto
:
Escrevendo o produto escalar:
Passo 6
Expandindo e simplificando a expressão anterior para obter a equação geral
:
Podemos deixar a equação exatamente assim. (Se preferir, multiplicando por
obtemos a forma equivalente
.)]