Exercício 2. Considere o campo vetorial
\vec{E}(x, y, z)=Q \frac{(x, y, z)}{\|(x, y, z)\|^{3}},
,
com Q denotando uma constante não nula.
(a) ( 1.0 ponto) Calcule a integral de superficie de \bar{E} sobre a esfera de raio 1 centrada na origem, com orientação apontando para fora da esfera.
(b) ( 1.0 ponto) Calcule a integral de superficie de \bar{E} sobre a esfera de raio 1 centrada no ponto (0,0,2), com orientação apontando para fora da esfera.
(c) ( 1.0 ponto) Seja \Omega_{A} o interior da primeira superficie e \Omega_{B} o interior da segunda. Considere as integrais triplas
\iiint_{\Omega_{A}} \nabla \cdot \vec{E} d V \text { e } \iiint_{\Omega_{B}} \nabla \cdot \vec{E} d V
Calcule cada uma das integrais acima e discuta os resultados em vista das respostas dadas em (a) e (b).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{E}(x,y,z)=Q\,\frac{(x,y,z)}{\|(x,y,z)\|^{3}}
e pede:
(a) o fluxo \displaystyle\iint_{S_1}\vec E\cdot d\vec S pela esfera S_1 de raio 1 em O;
(b) o fluxo \displaystyle\iint_{S_2}\vec E\cdot d\vec S pela esfera S_2 de raio 1 centrada em (0,0,2);
(c) as integrais triplas \displaystyle\iiint_{\Omega_A}\nabla\cdot\vec E\,dV e \displaystyle\iiint_{\Omega_B}\nabla\cdot\vec E\,dV, onde \Omega_A e \Omega_B são os interiores de S_1 e S_2.
Conteúdo usado: cálculo de fluxo em coordenadas esféricas e Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss).

Passo 2

Para a esfera S_1\colon r=1 centrada na origem usamos coordenadas esféricas. Em todo ponto da esfera o vetor posição é \vec r=r\,\hat r com r=1, e
\vec E =Q\,\frac{\hat r}{r^{2}} =Q\,\hat r \quad(r=1).
O elemento de área orientado para fora é
d\vec S=\hat r\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\hat r\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \quad(r=1).
Logo
\vec E\cdot d\vec S =Q\,\underbrace{\hat r\cdot\hat r}_{1}\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =Q\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Integrando \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi], vem
\iint_{S_1}\vec E\cdot d\vec S =Q\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =Q\,(2\pi)\,(2) =4\pi Q.

Passo 3

Para a esfera S_2 de centro (0,0,2) e raio 1, note que o campo \vec E é singular apenas em O. Aqui o interior de S_2 não contém a origem, então em todo \Omega_B temos \nabla\cdot\vec E=0. Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{S_2}\vec E\cdot d\vec S =\iiint_{\Omega_B}\nabla\cdot\vec E\,dV =0.

Passo 4

Calculemos agora explicitamente \nabla\cdot\vec E. Para \vec r\neq 0 sabe-se que o campo radial Q\vec r/r^{3} tem divergência zero:
\nabla\cdot\vec E=0 \quad(\vec r\neq 0).
Porém em distribuição há uma contribuição de Dirac em O, e a identidade de Gauss para potenciales 1/r
\nabla\cdot\vec E =4\pi Q\,\delta(\vec r).
Assim
\iiint_{\Omega_A}\nabla\cdot\vec E\,dV =4\pi Q \quad\text{(pois \(O\in\Omega_A\))},
\iiint_{\Omega_B}\nabla\cdot\vec E\,dV =0 \quad\text{(pois \(O\notin\Omega_B\))}.

Passo 5

Comparando:
  • Em (a) o fluxo em S_1 que envolve a singularidade deu 4\pi Q.
  • Em (b) o fluxo em S_2 que não envolve a singularidade deu 0.
  • As integrais triplas em (c) coincidem com esses fluxos pela Lei de Gauss, mostrando a consistência entre fluxo de superfície e divergência.

Resposta

(a) 4\pi Q
(b) 0
(c) \displaystyle\iiint_{\Omega_A}\nabla\cdot\vec E\,dV=4\pi Q e \displaystyle\iiint_{\Omega_B}\nabla\cdot\vec E\,dV=0.

Exercícios relacionados