Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado no ponto e direção inficados.
\vec{f}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} no ponto P(1,1,1), na direção do vetor \vec{a}=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional do campo vetorial \vec{f}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
\vec{f}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}
no ponto P(1,1,1) na direção do vetor \vec{a}=(1,1,1). Para resolver, vamos precisar (1) normalizar \vec{a} para obter o vetor unitário \vec{u} e (2) usar a matriz jacobiana de \vec{f} avaliada em P.

Passo 2

Vamos normalizar \vec{a}. O comprimento de \vec{a} é
\|\vec{a}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3},
logo o vetor unitário na direção de \vec{a} é
\vec{u}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 3

A matriz jacobiana J_{\vec f}(x,y,z) do campo vetorial é dada pelas derivadas parciais de cada componente:
J_{\vec f}(x,y,z) =\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} (x^2) & \frac{\partial}{\partial y} (x^2) & \frac{\partial}{\partial z} (x^2)\\[6pt] \frac{\partial}{\partial x} (y^2) & \frac{\partial}{\partial y} (y^2) & \frac{\partial}{\partial z} (y^2)\\[6pt] \frac{\partial}{\partial x} (z^2) & \frac{\partial}{\partial y} (z^2) & \frac{\partial}{\partial z} (z^2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x & 0 & 0\\\\ 0 & 2y & 0\\\\ 0 & 0 & 2z \end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliaremos J_{\vec f} em P(1,1,1) e aplicaremos ao vetor unitário \vec{u}:
J_{\vec f}(1,1,1) =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{u}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Multiplicando, obtemos a derivada direcional:
D_{\vec{u}}\vec{f}(1,1,1) =J_{\vec f}(1,1,1)\,\vec{u} =\begin{pmatrix} 2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt] 2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt] 2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr).]

Resposta

A derivada direcional de \vec{f} no ponto P(1,1,1) na direção de \vec{a} é
\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}},\,\tfrac{2}{\sqrt{3}},\,\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr).

Exercícios relacionados