Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}43^{x} & \text { se } \quad x<0 \\\\ 2 L+x & \text { se } \quad x \geq 0\end{array}\right., no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
y=f(x)=\begin{cases} 43^{x}, & \text{se } x<0,\\[4pt] 2L+x, & \text{se } x\ge 0, \end{cases}
e pede: determinar o valor de L para que f seja contínua no ponto x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ramo à esquerda (para x<0) é 43^{x}.
  • Ramo à direita (para x\ge 0) é 2L+x.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • Precisamos escolher L de modo que não haja “salto” no gráfico em x=0.]

Passo 2

O que significa ser contínuo em x=0? Vou explicar bem devagarinho.
Definição prática: f é contínua em x=0 se e somente se as três quantidades seguintes existirem e forem iguais:
\lim_{x\to 0^-} f(x),\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x),\qquad f(0).
  • \lim_{x\to 0^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem pela esquerda (valores menores que 0).
  • \lim_{x\to 0^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem pela direita (valores maiores que 0).
  • f(0) é o valor real da função no ponto 0 (aqui é dado pelo ramo x\ge0).
Para funções definidas por partes, normalmente calculamos as duas limites laterais e igualamos ao valor em 0. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a limite pela esquerda: \lim_{x\to 0^-} f(x).
Para x<0 temos f(x)=43^{x}. A função x\mapsto 43^{x} é uma exponencial positiva contínua, então o limite ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda é simplesmente o valor em 0:
\lim_{x\to 0^-} 43^{x}=43^{0}.
Qual é 43^{0}? Pela propriedade das potências, qualquer base positiva elevada a 0 vale 1. Portanto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1.

Passo 4

Calcular a limite pela direita e o valor da função em 0: \lim_{x\to 0^+} f(x) e f(0).
Para x\ge 0 a função é f(x)=2L+x, que é uma reta (função linear). Retas são contínuas em todo ponto, então o limite pela direita ao ir para 0 é o mesmo que o valor em 0:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0)=2L+0=2L.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: as duas limites laterais (que devem ser iguais) e o valor em 0 têm que coincidir. Já achamos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1 \quad\text{e}\quad f(0)=2L.
Então para continuidade precisa ocorrer
2L=1.
Resolver a equação:
L=\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida: com L=\tfrac{1}{2} temos f(0)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1. Ambas as limites laterais são 1. Logo não há salto e f é contínua em x=0. Boa — fizemos certinho!

Resposta

L=\dfrac{1}{2}

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