e pede para verificar se essa função é contínua.
Informações dadas: a expressão de f(x) para x\neq 0 e o valor atribuído em x=0, que é f(0)=0.
Pergunta clara: em quais pontos f é contínua? (ou seja: é contínua em todo lugar, só em alguns pontos, qual(is) ponto(s) de descontinuidade?)]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser contínuo num ponto. Uma função f é contínua em um ponto a se os três itens abaixo acontecem:
Explicando de forma simples: a função não pode “pular” no ponto a — o valor que a função toma em a precisa ser igual ao valor para o qual f(x) tende quando x se aproxima de a.
Usaremos essa definição para checar continuidade em dois casos: (i) para a\neq 0 e (ii) para a=0.
Passo 3
Continuidade para a\neq 0.
Para x\neq 0 a expressão é f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}. Sabemos que a função \operatorname{sen}(x) é contínua em todo x e a função identidade x\mapsto x também é contínua. A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua em pontos onde o denominador é diferente de zero. Aqui, para qualquer a\neq 0 o denominador a não é zero, logo
e esse limite é igual a f(a). Portanto f é contínua em todo a\neq 0.
Comentário prático: isso significa que, fora da origem, não tem mistério — é só uma divisão de coisas contínuas e está tudo ok.
Passo 4
Agora o caso delicado: a=0. Precisamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} e comparar com f(0)=0. Vou mostrar que
\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Para provar isso usamos uma desigualdade clássica (proveniente de uma interpretação geométrica no círculo trigonométrico) que vale para x próximo de 0. Para 0<x<\dfrac{\pi}{2} tem-se
\cos x < \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1.
Raciocínio da desigualdade (versão simples e intuitiva): no círculo trigonométrico unitário, comparando a área de um setor com as áreas de triângulos inscritos e circunscritos, obtém-se \sin x < x < \tan x para 0<x<\dfrac{\pi}{2}. Dividindo tudo por x e reescrevendo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} chega-se a \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1. Para x<0 faz-se a mesma coisa usando simetria (a função \sin é ímpar), e a desigualdade vale em módulo, levando ao mesmo limite.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Como para x\to 0 temos \cos x \to 1 e a constante 1 tem limite 1, pelas desigualdades do passo anterior obtemos
\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Portanto o limite existe e vale 1.
Passo 6
Comparando com o valor da função em 0: dado que f(0)=0 e \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1, concluímos que
\lim_{x\to 0} f(x)=1 \neq f(0)=0.
Pelo critério de continuidade do passo 2, isso significa que f NÃO é contínua em x=0. A descontinuidade é do tipo removível (porque redefinindo f(0)=1 a função ficaria contínua em 0).
Passo 7
Conclusão final (resumindo com coragem e um pouco de motivação): f é contínua em todo ponto diferente de 0 e tem descontinuidade em 0. Se você quiser consertar a função para que seja contínua em todo lugar, basta redefinir f(0)=1. Vai dar certo na prova — você pegou a ideia principal!
Resposta
f é contínua para todo x\neq 0 e é descontínua em x=0.