Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados: y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{e^{x}-1}{x} & \text { se } \quad x \neq 0 \\\ L & \text { se } \quad x=0\end{array}\right., no ponto x=0.
e pede: determinar o valor de L para que f seja contínua no ponto x=0.
Informações relevantes que recebemos: a expressão de f(x) para x\neq0 é \dfrac{e^{x}-1}{x}; o valor em 0 está indicado por uma constante L que devemos escolher. A continuidade em x=0 é a propriedade que queremos garantir.]
Passo 2
Recordando o que significa "função contínua em x=0" (aula rápida): uma função f é contínua em x=0 se e só se o valor da função no ponto for igual ao limite da função quando x tende a 0. Ou seja, devemos ter
\lim_{x\to 0} f(x) = f(0).
No nosso caso f(0)=L, portanto precisamos escolher L tal que
L = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x}.
Passo 3
Vamos então calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x}.
Antes de aplicar qualquer técnica, observamos o comportamento das partes: quando x\to 0 temos e^{x}\to e^{0}=1, então o numerador e^{x}-1\to 0 e o denominador x\to 0. Logo o limite tem a forma indeterminada 0/0. Quando aparecer 0/0 podemos usar regras que transformam esse indeterminado em algo calculável — uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Explicando a Regra de L’Hôpital (mini-aula): se temos um limite da forma
\lim_{x\to a} \frac{g(x)}{h(x)}
e tanto g(x)\to 0 e h(x)\to 0 (ou ambos tendem a \pm\infty), e se g e h são diferenciáveis em torno de a (exceto talvez em a) e h'(x)\neq 0 próximo de a, então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty). Em palavras: podemos tomar derivadas do numerador e do denominador e recalcular o limite — isso frequentemente resolve a indeterminação 0/0. É uma ferramenta padrão em cálculo de limites.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital ao nosso caso: tome g(x)=e^{x}-1 e h(x)=x. Verificamos as hipóteses: ao aproximar x de 0 ambos tendem a 0, as funções são diferenciáveis em torno de 0 e h'(x)=1\neq 0. Então podemos calcular
Calcule as derivadas usadas na Regra de L’Hôpital: a derivada de e^{x}-1 em relação a x é e^{x} (lembre: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}); a derivada de x é 1. Portanto