Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2} & \text { se } x \neq 2 \\\\ 4 & \text { se } x=2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2} & \text{se } x\neq 2,\\[6pt] 4 & \text{se } x=2.\end{cases}
A pergunta é: verificar se essa função é contínua (ou seja, em quais pontos é contínua). Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para x\neq 2 é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O valor atribuído em x=2 é 4.
    Não resolvo nada aqui — apenas deixei claro o que foi dado e o que se pede.]

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (a ideia que vamos usar): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Isto significa: quando x se aproxima de a, os valores f(x) devem se aproximar exatamente do valor f(a). Para verificar continuidade em toda a reta, verificamos essa condição para cada ponto do domínio.

Passo 3

Observação sobre a expressão para x\neq 2. Vamos simplificar \dfrac{x^{2}-4}{x-2}:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2),
logo, para x\neq 2,
\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2.
Importante: a simplificação \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 só é válida quando x\neq 2 (pois não podemos dividir por zero). Concluímos que a função coincide com a função polinomial x+2 em todos os pontos diferentes de 2.

Passo 4

Continuidade em pontos a\neq 2. Seja um ponto qualquer a tal que a\neq 2. Pelo passo anterior, numa vizinhança de a a função f(x) é simplesmente x+2. Como x+2 é um polinômio, ele é contínuo em todo ponto. Portanto
\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} (x+2) = a+2.
E o valor da função em a é f(a)=\dfrac{a^{2}-4}{a-2}=a+2. Assim
\lim_{x\to a} f(x) = f(a),
logo f é contínua em todo a\neq 2.

Passo 5

Continuidade no ponto x=2. Precisamos calcular \lim_{x\to 2} f(x) usando a expressão válida para x\neq 2. Usando a simplificação do passo 3,
\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2).
Como x+2 é contínuo, o limite é simplesmente o valor substituído:
\lim_{x\to 2} (x+2) = 2+2 = 4.
O enunciado deu f(2)=4. Comparando, temos
\lim_{x\to 2} f(x) = 4 = f(2).
Portanto a condição de continuidade em x=2 também é satisfeita.

Passo 6

Conclusão global: juntando os resultados dos passos anteriores, f é contínua em todo ponto x\neq 2 porque coincide com o polinômio x+2 nesses pontos, e é contínua em x=2 porque o limite lateral existe e é igual a f(2). Em outras palavras, não há descontinuidade: havia originalmente uma forma que poderia causar problema em x=2 (uma indeterminação), mas a função foi definida em 2 exatamente com o valor que “remove” essa indeterminação.

Resposta

A função é contínua em todo \mathbb{R}.

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