Determine o valor das seguintes integrais.
\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}} d x

Passo 1

O enunciado solicita o valor da integral definida de 0 a 3 de
\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx.
Vamos usar a técnica de substituição para simplificar o radical em uma potência.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x+1,
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du = dx \quad\text{e}\quad x = u - 1.
Os limites mudam: quando x=0, u=1; quando x=3, u=4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = \int_{u=1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}}\,du.
Como \sqrt{u}=u^{1/2}, reescrevemos o integrando:
\frac{u-1}{u^{1/2}} = u^{1/2} - u^{-1/2}.
Logo a integral vira
\int_{1}^{4} \bigl(u^{1/2} - u^{-1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando \int u^p\,du = \tfrac{u^{p+1}}{p+1}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}\,u^{3/2}, \qquad \int u^{-1/2}\,du = 2\,u^{1/2}.
Assim a primitiva geral é
F(u) = \frac{2}{3}\,u^{3/2} - 2\,u^{1/2}.

Passo 5

Avaliaremos F(u) de 1 a 4:
F(4) = \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} - 2\cdot 4^{1/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 - 2\cdot 2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3},
F(1) = \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} - 2\cdot 1^{1/2} = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}.
Portanto
\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = F(4) - F(1) = \frac{4}{3} - \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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