Determine o valor das seguintes integrais. \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} d x Passo 1O enunciado pede o cálculo da integral \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\,dx. O tipo de integral sugere usar uma substituição trigonométrica, pois temos \sqrt{1+x^2}. Vamos usar x=\tan\theta,\quad dx=\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, com \theta no intervalo correspondente a x\ge0. Passo 2Fazendo x=\tan\theta temos \sqrt{1+x^2}=\operatorname{sec}\theta (com \operatorname{sec}\theta>0) e \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\,dx =\frac{1}{\tan\theta\;\operatorname{sec}\theta}\;\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta =\frac{\operatorname{sec}^2\theta}{\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta}\,d\theta =\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta =\frac{1/\cos\theta}{\sin\theta/\cos\theta}\,d\theta =\csc\theta\,d\theta. Quando x=\tfrac34, \theta_1=\arctan\!\bigl(\tfrac34\bigr). Quando x=\tfrac43, \theta_2=\arctan\!\bigl(\tfrac43\bigr). Logo a integral original vira \int_{\theta_1}^{\theta_2}\csc\theta\,d\theta. Passo 3A primitiva de \csc\theta é \int \csc\theta\,d\theta =\ln\bigl|\tan(\tfrac\theta2)\bigr|+C. Logo, \int_{\theta_1}^{\theta_2}\csc\theta\,d\theta =\Bigl[\ln\bigl|\tan(\tfrac\theta2)\bigr|\Bigr]_{\theta_1}^{\theta_2} =\ln\bigl|\tan(\tfrac{\theta_2}2)\bigr| -\ln\bigl|\tan(\tfrac{\theta_1}2)\bigr|. Passo 4Calculamos as metades dos ângulos usando fórmulas de meia-parte: Para \theta_1=\arctan\!\bigl(\tfrac34\bigr), temos \sin\theta_1=\tfrac35 e \cos\theta_1=\tfrac45, então \tan\!\bigl(\tfrac{\theta_1}2\bigr) =\frac{\sin\theta_1}{1+\cos\theta_1} =\frac{\tfrac35}{1+\tfrac45} =\frac{\tfrac35}{\tfrac95} =\tfrac13. Para \theta_2=\arctan\!\bigl(\tfrac43\bigr), temos \sin\theta_2=\tfrac45 e \cos\theta_2=\tfrac35, então \tan\!\bigl(\tfrac{\theta_2}2\bigr) =\frac{\sin\theta_2}{1+\cos\theta_2} =\frac{\tfrac45}{1+\tfrac35} =\frac{\tfrac45}{\tfrac85} =\tfrac12. Substituindo, \ln\bigl|\tan(\tfrac{\theta_2}2)\bigr| -\ln\bigl|\tan(\tfrac{\theta_1}2)\bigr| =\ln\bigl(\tfrac12\bigr)-\ln\bigl(\tfrac13\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac12\cdot\tfrac{3}{1}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr). Resposta \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\,dx =\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine o valor das seguintes integrais. \int_{0}^{1} x \sin x d x Determine o valor das seguintes integrais. \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} x \operatorname{sec} ^{2} x d x Determine o valor das seguintes integrais. \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}} d x Determine o valor das seguintes integrais. \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x d x