Determine o valor das seguintes integrais.
\int_{0}^{1} x \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x \sin x \, dx
O conteúdo utilizado será integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \sin x\,dx
então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando integração por partes:
\int x\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = -x\cos x - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.

Passo 3

Continuando a primitiva:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x + \sin x\bigr]_{0}^{1} =\bigl(-1\cdot\cos(1)+\sin(1)\bigr)-\bigl(0+\sin(0)\bigr) =-\cos(1)+\sin(1).

Resposta

\sin(1)-\cos(1)

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