Determine o valor dos seguintes limites
lim h 2 h^3-8h^4-16

Passo 1

O enunciado pede
limhto2h^3-8h^4-16.
O conteúdo aqui é cálculo de limite com indeterminação do tipo 0/0 e fatoração de polinômios (diferença de cubos e de potências pares).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir h=2:
2^3 - 8 = 0, 2^4 - 16 = 0
Para resolver, fatoramos o numerador usando diferença de cubos:
h^3 - 8 = h^3 - 2^3 = (h - 2)l(h^2 + 2h + 4r)

Passo 3

Fatoramos o denominador usando diferença de quadrados em duas etapas:
h^4 - 16 = (h^2 - 4)(h^2 + 4) = (h - 2)(h + 2)(h^2 + 4)

Passo 4

Substituindo as fatorações no quociente e cancelando o fator comum (h-2):
h^3 - 8h^4 - 16 = (h - 2)(h^2 + 2h + 4)(h - 2)(h + 2)(h^2 + 4) = h^2 + 2h + 4(h + 2)(h^2 + 4), hneq2

Passo 5

Agora o limite fica não indeterminado e basta substituir h=2:
2^2 + 2cdot2 + 4(2 + 2)(2^2 + 4) = 4 + 4 + 44cdot(4 + 4) = 124cdot8 = 1232 = 38

Resposta

38

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