Nos exercícios de 17 a 32, organize os dados usando o tipo de gráfico indicado. O que podemos concluir sobre os dados?
Remuneração por hora: Use um gráfico de dispersão para representar os dados da tabela. Os dados representam o número de horas trabalhadas e a remuneração (em dólares) para uma amostra de 12 trabalhadores. Descreva quaisquer tendências.
Horas Remuneração
33 12,16
37 9,98
34 10,79
40 11,71
35 11,80
33 11,51
40 13,65
33 12,05
28 10,54
45 10,33
37 11,57
28 10,17

Passo 1

O enunciado pede que os dados da tabela sejam organizados usando um gráfico de dispersão (scatter plot) e que se descrevam quaisquer tendências observadas. Peguei os dados da tabela fornecida; são n=12 observações onde a variável independente é “Horas” e a variável dependente é “Remuneração” (dólares). Os pares (\text{Horas},\\ \text{Remuneração})çã são:
(33,\;12,16),\\ (37,\;9,98),\\ (34,\;10,79),\\ (40,\;11,71),\\ (35,\;11,80),\\ (33,\;11,51),
(40,\;13,65),\\ (33,\;12,05),\\ (28,\;10,54),\\ (45,\;10,33),\\ (37,\;11,57),\\ (28,\;10,17).
O objetivo prático para a prova: (1) saber como desenhar o scatter plot (eixos, escala e pontos) e (2) identificar e quantificar a tendência (se houver).

Passo 2

Como construir o gráfico de dispersão (passo a passo prático que você pode reproduzir na prova sem calculadora, desenhando à mão):
  • Eixo horizontal (abscissas): coloque \text{Horas}. Como os valores vão de 28 a 45, escolha uma escala que cubra pelo menos esse intervalo (por exemplo, marcas em 25,30,35,40,45).
  • Eixo vertical (ordenadas): coloque \text{Remuneração}çã em dólares. Os valores vão aproximadamente de 9,98 a 13,65; escolha uma escala como 9,5,\;10,\;10,5,\;11,\;11,5,\;12,\;12,5,\;13,\;13,5.
  • Plote cada par (x,y) como um ponto no gráfico. Liste novamente os pontos para plotagem direta (peguei estes valores da tabela): (33,\;12,16),\\ (37,\;9,98),\\ (34,\;10,79),\\ (40,\;11,71),\\ (35,\;11,80),
(33,\;11,51),\\ (40,\;13,65),\\ (33,\;12,05),\\ (28,\;10,54),\\ (45,\;10,33),
(37,\;11,57),\\ (28,\;10,17).
  • Dica de desenho rápido: marque o ponto médio (\bar{x},\bar{y}) no papel (a seguir calculamos \bar{x} e \bar{y}) para orientar o visual.

Passo 3

Calcular estatísticas resumo (para entender a nuvem de pontos e preparar ajuste linear):
  • Soma das horas: \sum x_i = 423.
  • Soma das remunerações (peguei da tabela): \sum y_i = 136,26.
  • Média das horas: \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{423}{12} = 35,25.
  • Média da remuneração: \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{136,26}{12} = 11,355.
Explicação didática: \bar{x} é o centro dos valores de horas; \bar{y} é o centro das remunerações. No scatter plot, o ponto (\bar{x},\bar{y}) é o centro da nuvem de pontos.

Passo 4

Preparar somas necessárias para ajuste linear e correlação (peguei cada termo multiplicando os valores da tabela):
  • Soma dos quadrados das horas: \sum x_i^2 = 15179.
  • Soma dos quadrados das remunerações: \sum y_i^2 = 1559,3536.
  • Soma dos produtos: \sum x_i y_i = 4815,10.
Explicação didática: \sum x_i^2 e \sum y_i^2 medem a “energia” de cada variável; \sum x_i y_i mede a associação entre x e y. Essas somas servem para calcular a reta de regressão por mínimos quadrados e o coeficiente de correlação.

Passo 5

Encontrar a reta de regressão linear simples \hat{y}=b_0 + b_1 x (o método mais usado em provas para quantificar tendência linear):
  • Fórmula do coeficiente angular b_1: b_1 = \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}.Substituindo os números: \text{numerador} = 4815,10 - 12\cdot 35,25\cdot 11,355 = 11,935,
\text{denominador} = 15179 - 12\cdot 35,25^2 = 268,25.
Então
b_1 \approx \frac{11,935}{268,25} \approx 0,0445.
Interpretação didática: b_1 é a variação média de \text{Remuneração}çã (dólares) associada a um aumento de uma unidade em \text{Horas}. Aqui b_1\approx 0,0445 significa que — em média — cada hora adicional está associada a um aumento de cerca de $0,0445 (4,45 centavos) na remuneração.
  • Intercepto b_0: b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x} = 11,355 - 0,0445\cdot 35,25 \approx 9,786.Logo a reta ajustada é aproximadamente \hat{y} = 9,786 + 0,0445\,x.
Como desenhar isso no scatter: trace essa reta no gráfico (calcule dois pontos, por exemplo x=28 e x=45, e ligue-os).

Passo 6

Calcular o coeficiente de correlação linear r e interpretar o poder explicativo:
  • Fórmula: r = \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\big(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\big)\big(\sum y_i^2 - n\bar{y}^2\big)}}.Já temos o numerador =11,935. Calculando o denominador: \sum y_i^2 - n\bar{y}^2 = 1559,3536 - 12\cdot 11,355^2 \approx 12,1213.Assim r \approx \frac{11,935}{\sqrt{268,25\cdot 12,1213}} \approx 0,21.
  • Coeficiente de determinação: r^2 \approx 0,21^2 \approx 0,044,ou seja, aproximadamente 4{,}4\% da variação em \text{Remuneração}çã é explicada pela variação em \text{Horas} segundo o modelo linear.
    Interpretação didática: r mede a força e direção da relação linear; aqui r\approx 0,21 indica uma correlação positiva fraca. r^2 mostra quanto da variabilidade de y é explicada por x na regressão linear; 4{,}4\% é muito baixo — a relação linear é fraca.

Passo 7

Interpretação prática e observações úteis para a prova (como dizer isso em poucas linhas quando te pedirem “o que podemos concluir?”):
  • Visualmente (no scatter plot) os pontos ficam relativamente dispersos; não há uma nuvem bem alinhada numa reta.
  • A inclinação positiva pequena (b_1\approx 0,0445) indica tendência positiva muito fraca: mais horas associam-se a um leve aumento na remuneração por hora, mas o efeito é desprezível na prática (cerca de $0,04 por hora extra).
  • A correlação é fraca (r\approx 0,21) e o r^2 é baixo (\approx 0,044), o que confirma que as horas não explicam bem as diferenças na remuneração entre trabalhadores — podem existir outros fatores importantes (experiência, função, negociação, setor, etc.).
  • Há alguns pontos que contribuem para dispersão (por exemplo (40,\;13,65) é relativamente alto em remuneração; (37,\;9,98) é relativamente baixo) — ao apontar isso na prova, comente que esses pontos aumentam a variabilidade e enfraquecem a correlação.

Resposta

Pontos do gráfico de dispersão: (33,\;12,16),\\ (37,\;9,98),\\ (34,\;10,79),\\ (40,\;11,71),\\ (35,\;11,80),\\ (33,\;11,51),\\ (40,\;13,65),\\ (33,\;12,05),\\ (28,\;10,54),\\ (45,\;10,33),\\ (37,\;11,57),\\ (28,\;10,17).\nConclusão: existe uma correlação positiva fraca entre \text{Horas} e \text{Remuneração}çã ( r\approx 0,21), a reta de regressão é \hat{y}\approx 9,786 + 0,0445x (cada hora adicional associa-se a \approx\$0,0445 a mais), e apenas \approx 4{,}4\% da variação em remuneração é explicada pelas horas ( r^2\approx 0,044) — portanto a tendência linear é muito fraca.

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