Nos exercícios de 17 a 32, organize os dados usando o tipo de gráfico indicado. O que podemos concluir sobre os dados?
Salários: Use um gráfico de dispersão para representar os dados mostrados na tabela. Os dados representam o número de alunos por professa e o salário médio dos professores (em milhares de dólares) para uma amostra de 10 escolas. Descreva quaisquer tendências.
Número de alunos por professor Salário médio
17,1 28,7
17,5 47,5
18,9 31,8
17,1 28,1
20,0 40,3
18,6 33,8
14,4 49,8
16,5 37,5
13,3 42,5
18,4 31,9

Passo 1

O enunciado pede que eu organize os dados em um gráfico de dispersão (scatter plot) e descreva quaisquer tendências. Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado). Vou tratá‑los assim:
  • Variável x: número de alunos por professor (unidades: alunos por professor).
  • Variável y: salário médio dos professores (unidades: milhares de dólares).
Os pares (x,y) são:
(17,1,\,28,7),\;(17,5,\,47,5),\;(18,9,\,31,8),\;(17,1,\,28,1),\;(20,0,\,40,3),
(18,6,\,33,8),\;(14,4,\,49,8),\;(16,5,\,37,5),\;(13,3,\,42,5),\;(18,4,\,31,9).
O objetivo: (a) indicar como montar e interpretar um gráfico de dispersão para esses dados; (b) descrever tendências observadas (por exemplo: se existe relação linear, o sentido da relação, força, presença de outliers).

Passo 2

Como construir o gráfico de dispersão (passo a passo prático):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal para x (número de alunos por professor) e eixo vertical para y (salário médio em milhares).
  • Escolha uma escala que acomode os valores: por exemplo, para x usar de 13 a 20 e para y usar de 28 a 50. Marque as divisões com intervalos regulares (por exemplo, 1 em x e 5 em y).
  • Para cada par (x,y) da lista, marque um ponto no gráfico. Por exemplo, para (17,1,\,28,7) localizar x=17,1 no eixo horizontal e subir até y=28,7 no eixo vertical; coloque um ponto.
  • Depois de todos os pontos marcados, observe o padrão: se os pontos seguem aproximadamente uma linha inclinada para cima, há correlação positiva; se seguem linha inclinada para baixo, correlação negativa; se espalham sem padrão, pouca ou nenhuma correlação.
Dica prática para a prova: desenhar com escalas simples e marcar cada ponto cuidadosamente já revela muita coisa sem cálculo.

Passo 3

Para quantificar a tendência (além de olhar o gráfico), calculamos medidas resumo: médias, variâncias e a correlação de Pearson. Primeiro as somas e médias (peguei os números da tabela):
Somas:
\sum x = 171,8,\qquad \sum y = 371,9.
Médias (média amostral de cada variável):
\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{171,8}{10}=17,18, \qquad \bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{371,9}{10}=37,19.
Explanação curta: \bar{x} é o valor médio de alunos por professor; \bar{y} é o salário médio na amostra (em milhares).

Passo 4

Agora calculamos as somas necessárias para variâncias e covariância (peguei cada produto e quadrado da tabela original):
Somas de quadrados e produtos:
\sum x^2 = 2989,30,\qquad \sum y^2 = 14357,47,\qquad \sum xy = 6326,31.
Esses números vêm de somar, para cada observação i, x_i^2, y_i^2 e x_i y_i. Por exemplo, para a primeira observação x_1^2=17,1^2=292,41 e x_1y_1=17,1\cdot28,7=490,77, e assim por diante para todas as 10 observações.

Passo 5

Vamos calcular a correlação de Pearson r e explicar o que significa. Fórmula (população amostral clássica):
r=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)} {\sqrt{\bigl[n\sum x^2-(\sum x)^2\bigr]\;\bigl[n\sum y^2-(\sum y)^2\bigr]}}.
Aqui:
  • n=10 é o número de pares;
  • \sum x,\sum y,\sum x^2,\sum y^2,\sum xy já computados.
Calculando passo a passo:
\text{numerador}=n\sum xy-(\sum x)(\sum y)=10\cdot6326,31 - 171,8\cdot371,9 = 63263,1 - 63892,42 = -629,32.
A=n\sum x^2-(\sum x)^2 = 10\cdot2989,30 - (171,8)^2 = 29893,0 - 29515,24 = 377,76.
B=n\sum y^2-(\sum y)^2 = 10\cdot14357,47 - (371,9)^2 = 143574,7 - 138309,61 = 5265,09.
\text{denominador}=\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{377,76\cdot5265,09}\approx1410,30.
Portanto
r=\frac{-629,32}{1410,30}\approx -0,447.
Interpretação didática de r:
  • r varia entre -1 e +1.
  • r\approx -0,447 indica uma correlação negativa moderada: quando x aumenta, y tende a diminuir, mas a relação não é perfeita.

Passo 6

Uma maneira útil de resumir a tendência é a reta de regressão linear ajustada por mínimos quadrados (previsão de y a partir de x). Fórmulas:
b=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2} \qquad\text{(coeficiente angular)}
a=\bar{y}-b\bar{x} \qquad\text{(coeficiente linear)}
Usando os números já calculados:
b=\frac{-629,32}{377,76}\approx -1,666,
a=37,19 - (-1,666)\cdot17,18 \approx 37,19 + 28,62 \approx 65,81.
Reta de regressão (estimativa de y dado x):
\hat{y}=65,81 - 1,666\,x.
Explicação: o coeficiente angular b diz que, segundo este modelo linear, um aumento de 1 aluno por professor está associado, em média, a uma queda de cerca de 1,666 (milhares de dólares) no salário médio — isto é, cerca de $1.666 a menos.

Passo 7

Interpretação prática e observações (como explicar isso na prova):
  • Tendência geral: há uma relação inversa moderada entre número de alunos por professor e salário médio dos professores — posições com maior carga (mais alunos por professor) tendem a pagar menos, em média.
  • Força da relação: r\approx -0,447 indica relação moderada, não forte; há dispersão ao redor da reta, então o número de alunos por professor explica parte, mas não toda, da variação dos salários.
  • Outliers / pontos que destoam: por exemplo, (14,4,\,49,8) e (13,3,\,42,5) têm poucos alunos por professor e salários relativamente altos — reforçam a tendência negativa; já (17,5,\,47,5) tem salário alto apesar de x médio, sendo ponto que se destaca. Sempre, ao interpretar, mencione pontos que fogem ao padrão.
  • Limitação: correlação não implica causalidade. Em prova, se pedirem conclusões, diga que existe associação, e que para afirmar causalidade seriam necessárias mais informações.
  • Como apresentar na prova: desenhe o scatter plot, sobreponha uma reta aproximada com coeficientes acima (ou apenas descreva o sinal e força de r), comente sobre outliers e limite causalidade — isso é completo e convincente.

Resposta

Correlação de Pearson aproximadamente r\approx -0,447 (correlação negativa moderada).
Reta de regressão: \hat{y}=65,81 - 1,666\,x.
Conclusão: em média, escolas com maior número de alunos por professor tendem a ter salários médios mais baixos, mas a relação é moderada e há pontos atípicos.

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