Determine o valor de a para que os sistemas sejam possivets e determinados (SPD).
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede: determinar os valores de
para que o sistema seja possível e determinado (SPD), ou seja, tenha exatamente uma solução. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da matriz do sistema: primeira linha
, segunda linha . - Termos independentes:
e .
A partir disso queremos encontrar a condição sobreque garanta uma única solução.]
Passo 2
Conceito importante (aula curta): um sistema linear
é possível e determinado (SPD) quando a matriz dos coeficientes é invertível. Para matrizes
a condição de invertibilidade é que o determinante seja diferente de zero. A fórmula do determinante é
Se
então existe e é única a solução (podemos usar, por exemplo, a Regra de Cramer). Se
então ou não há solução ou há infinitas soluções, depende da consistência dos termos independentes.
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante à matriz dos coeficientes do nosso sistema, temos
Para que o sistema seja SPD precisamos de
Passo 4
Resolver a desigualdade
. Isolando
:
Portanto, qualquer
diferente de
faz com que o determinante seja não nulo, garantindo uma única solução.
Passo 5
Comentário didático sobre o caso
: se
então a segunda linha dos coeficientes é
, que é
vezes a primeira linha
. Assim as linhas são proporcionais e a matriz tem determinante zero. Verificando os termos independentes, multiplicando
por
obtém-se
, que é diferente de
; logo as equações ficam incompatíveis e o sistema é impossível (sem solução) nesse caso. Isso reforça que
não é aceitável para SPD.