Determine o valor de a para que os sistemas sejam possivets e determinados (SPD).
b) \left\{\begin{array}{l}x+5 y=20 \\\ a x-2 y=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+5y=20\\[4pt] a x-2y=9 \end{cases}
e pede: determinar os valores de a para que o sistema seja possível e determinado (SPD), ou seja, tenha exatamente uma solução. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da matriz do sistema: primeira linha (1,5), segunda linha (a,-2).
  • Termos independentes: 20 e 9.
    A partir disso queremos encontrar a condição sobre a que garanta uma única solução.]

Passo 2

Conceito importante (aula curta): um sistema linear 2\times2
\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\\ b_2\end{pmatrix}
é possível e determinado (SPD) quando a matriz dos coeficientes é invertível. Para matrizes 2\times2 a condição de invertibilidade é que o determinante seja diferente de zero. A fórmula do determinante é
\det\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}=ps-qr.
Se \det\neq0 então existe e é única a solução (podemos usar, por exemplo, a Regra de Cramer). Se \det=0 então ou não há solução ou há infinitas soluções, depende da consistência dos termos independentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à matriz dos coeficientes do nosso sistema, temos
\det = 1\cdot(-2)-5\cdot a = -2-5a.
Para que o sistema seja SPD precisamos de
-2-5a \neq 0.

Passo 4

Resolver a desigualdade -2-5a\neq0. Isolando a:
-5a \neq 2 \quad\Rightarrow\quad a \neq -\frac{2}{5}.
Portanto, qualquer a diferente de -\tfrac{2}{5} faz com que o determinante seja não nulo, garantindo uma única solução.

Passo 5

Comentário didático sobre o caso a=-\tfrac{2}{5}: se a=-\tfrac{2}{5} então a segunda linha dos coeficientes é \bigl(-\tfrac{2}{5},-2\bigr), que é -\tfrac{2}{5} vezes a primeira linha (1,5). Assim as linhas são proporcionais e a matriz tem determinante zero. Verificando os termos independentes, multiplicando 20 por -\tfrac{2}{5} obtém-se -8, que é diferente de 9; logo as equações ficam incompatíveis e o sistema é impossível (sem solução) nesse caso. Isso reforça que a=-\tfrac{2}{5} não é aceitável para SPD.

Resposta

a\neq -\dfrac{2}{5}

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