Resolva os sistemas pela regra de Cramer.
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+z=9 \\ -x+2 y+2 z=3 \\ -2 x+3 y+5 z=7 \end{array}\right. ]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo (ou seja, encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\) que satisfazem todas as equações simultaneamente): \[\begin{cases} 2x+y+z=9\\[4pt] -x+2y+2z=3\\[4pt] -2x+3y+5z=7 \end{cases}
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes das incógnitas em cada equação e os termos constantes 9\], \(3 e 7. A solução procurada é o triplo (x,y,z) que satisfaz esse sistema.]

Passo 2

Vamos resolver pela regra de Cramer (o enunciado já pediu isso). Antes de calcular, vou te explicar a regra de forma bem direta e prática.
A regra de Cramer diz o seguinte para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} com n incógnitas:
  • Seja D=\det(A) o determinante da matriz dos coeficientes. Se D\neq 0, o sistema tem solução única.
  • Para obter a componente x_i da solução, constrói-se D_i que é o determinante da mesma matriz A em que a i-ésima coluna foi substituída pelo vetor dos termos constantes \mathbf{b}. Então
x_i=\frac{D_i}{D}.
Aqui temos n=3. Vou calcular D, D_x, D_y e D_z e aplicar essas fórmulas. Também explico como calcular determinantes de 3\times3: para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
uma forma direta é expandir pela primeira linha:
\det=\;a\det\begin{pmatrix}e&f\\[2pt]h&i\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix}d&f\\[2pt]g&i\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix}d&e\\[2pt]g&h\end{pmatrix}.
Cada determinante 2\times2 é \det\begin{pmatrix}p&q\\[2pt]r&s\end{pmatrix}=ps-qr. Vou aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Calcular D=\det(A) onde
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
D=2\det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]3&5\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&5\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&3\end{pmatrix}.
Agora calcule cada 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]3&5\end{pmatrix}=2\cdot5-2\cdot3=10-6=4,
\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&5\end{pmatrix}=(-1)\cdot5-2\cdot(-2)=-5+4=-1,
\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&3\end{pmatrix}=(-1)\cdot3-2\cdot(-2)=-3+4=1.
Substituindo:
D=2\cdot4 - 1\cdot(-1) + 1\cdot1 = 8 +1 +1 = 10.
Como D=10\neq 0, existe solução única e podemos usar a regra de Cramer.]

Passo 4

Calcular D_x: substituímos a primeira coluna de A pelo vetor dos termos constantes \mathbf{b}=(9,3,7). Assim
A_x=\begin{pmatrix} 9 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 2\\[4pt] 7 & 3 & 5 \end{pmatrix}
e
D_x=\det(A_x)=9\det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]3&5\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]7&5\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]7&3\end{pmatrix}.
Já sabemos \det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]3&5\end{pmatrix}=4. Calcule os outros:
\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]7&5\end{pmatrix}=3\cdot5-2\cdot7=15-14=1,
\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]7&3\end{pmatrix}=3\cdot3-2\cdot7=9-14=-5.
Substituindo:
D_x=9\cdot4 -1\cdot1 +1\cdot(-5)=36-1-5=30.
Logo
x=\frac{D_x}{D}=\frac{30}{10}=3.]

Passo 5

Calcular D_y: substituímos a segunda coluna de A por \mathbf{b}. Assim
A_y=\begin{pmatrix} 2 & 9 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 2\\[4pt] -2 & 7 & 5 \end{pmatrix}
e
D_y=\det(A_y)=2\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]7&5\end{pmatrix} -9\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&5\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1&3\\[2pt]-2&7\end{pmatrix}.
Já calculamos alguns desses antes:
\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]7&5\end{pmatrix}=1,
\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&5\end{pmatrix}=-1,
\det\begin{pmatrix}-1&3\\[2pt]-2&7\end{pmatrix}=(-1)\cdot7-3\cdot(-2)=-7+6=-1.
Substituindo:
D_y=2\cdot1 -9\cdot(-1) +1\cdot(-1)=2+9-1=10.
Logo
y=\frac{D_y}{D}=\frac{10}{10}=1.]

Passo 6

Calcular D_z: substituímos a terceira coluna de A por \mathbf{b}. Assim
A_z=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9\\[4pt] -1 & 2 & 3\\[4pt] -2 & 3 & 7 \end{pmatrix}
e
D_z=\det(A_z)=2\det\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]3&7\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-1&3\\[2pt]-2&7\end{pmatrix} +9\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&3\end{pmatrix}.
Calcule os 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]3&7\end{pmatrix}=2\cdot7-3\cdot3=14-9=5,
\det\begin{pmatrix}-1&3\\[2pt]-2&7\end{pmatrix}=-1\\ \text{(já calculado no passo anterior)},á
\det\begin{pmatrix}-1&2\\[2pt]-2&3\end{pmatrix}=1\\ \text{(já calculado no Passo 3)}.á
Substituindo:
D_z=2\cdot5 -1\cdot(-1) +9\cdot1 =10+1+9=20.
Logo
z=\frac{D_z}{D}=\frac{20}{10}=2.]

Passo 7

Verificação rápida (substituir na primeira equação, por exemplo):
2x+y+z=2\cdot3+1+2=6+1+2=9\quad\checkmark.
As outras equações também ficam verdadeiras se você fizer a conta — boa prática checar, dá segurança na prova.

Resposta

x=3,\;y=1,\;z=2

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