Determine o valor de a para que os sistemas sejam possivets e determinados (SPD).
a) \left\{\begin{array}{l}\alpha x-2 y=-1 \\\\ 2 x-2 y=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema com parâmetro \alpha\):
\[\begin{cases} \alpha x - 2y = -1,\\[4pt] 2x - 2y = 4. \end{cases}
Pede-se: determinar os valores de (\alpha] para que o sistema seja possível e determinado (SPD), ou seja, tenha exatamente uma solução.]
Passo 2
Para identificar quando um sistema linear 2×2 tem solução única, usamos a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. Se a matriz dos coeficientes for
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Explicando devagar: a,b,c,d são os coeficientes que multiplicam x e y nas duas equações; o determinante combina esses coeficientes. A regra prática é:
se \det \neq 0, a matriz é inversível e o sistema tem exatamente uma solução (SPD);
se \det = 0, pode acontecer ou nenhuma solução ou infinitas soluções (não é SPD).]
Passo 3
Identificamos a matriz dos coeficientes do sistema dado:
A = \begin{pmatrix} \alpha & -2\\[4pt] 2 & -2 \end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante de A aplicando \det(A)=ad-bc:
É útil ver o que ocorre quando \alpha = 2\). Substituindo em ambas as equações obtemos:
\[\begin{cases} 2x - 2y = -1,\\[4pt] 2x - 2y = 4. \end{cases}
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo, mas termos independentes diferentes (-1\] e \(4), logo são contraditórias — não existe (x,y) que satisfaça ambas. Portanto, para \alpha=2 o sistema é impossível (nenhuma solução), confirmando que esse valor não dá SPD.]