Determine o valor de a para que os sistemas sejam possivets e determinados (SPD).
a) \left\{\begin{array}{l}\alpha x-2 y=-1 \\\\ 2 x-2 y=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com parâmetro \alpha\): \[\begin{cases} \alpha x - 2y = -1,\\[4pt] 2x - 2y = 4. \end{cases}
Pede-se: determinar os valores de (\alpha] para que o sistema seja possível e determinado (SPD), ou seja, tenha exatamente uma solução.]

Passo 2

Para identificar quando um sistema linear 2×2 tem solução única, usamos a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. Se a matriz dos coeficientes for
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Explicando devagar: a,b,c,d são os coeficientes que multiplicam x e y nas duas equações; o determinante combina esses coeficientes. A regra prática é:
  • se \det \neq 0, a matriz é inversível e o sistema tem exatamente uma solução (SPD);
  • se \det = 0, pode acontecer ou nenhuma solução ou infinitas soluções (não é SPD).]

Passo 3

Identificamos a matriz dos coeficientes do sistema dado:
A = \begin{pmatrix} \alpha & -2\\[4pt] 2 & -2 \end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante de A aplicando \det(A)=ad-bc:
\det(A)=\alpha\cdot(-2)-(-2)\cdot 2.]

Passo 4

Continuando o cálculo do determinante:
\det(A) = -2\alpha - (-4) = -2\alpha + 4 = 4 - 2\alpha.
Para que o sistema seja SPD precisamos de \det(A)\neq 0. Assim impomos
4 - 2\alpha \neq 0.
Resolvendo essa desigualdade:
4 - 2\alpha \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha \neq 4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha \neq 2.

Passo 5

É útil ver o que ocorre quando \alpha = 2\). Substituindo em ambas as equações obtemos: \[\begin{cases} 2x - 2y = -1,\\[4pt] 2x - 2y = 4. \end{cases}
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo, mas termos independentes diferentes ( -1\] e \(4), logo são contraditórias — não existe (x,y) que satisfaça ambas. Portanto, para \alpha=2 o sistema é impossível (nenhuma solução), confirmando que esse valor não dá SPD.]

Resposta

\alpha \neq 2

Exercícios relacionados