Empregue este resultado para encontrar a solução geral de:
y^prime+y^2+3 y+2=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' + y^2 + 3y + 2 = 0
Este é um caso de equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever y' em função de y e x de forma que as variáveis se separem.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' = -l(y^2 + 3y + 2r)
Fatorando o polinômio em y temos
y' = - (y+1)(y+2)
Agora separamos as variáveis y e x:
dy(y+1)(y+2) = -,dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1(y+1)(y+2) = Ay+1 + By+2
Resolvendo 1 = A(y+2) + B(y+1) e comparando coeficientes, obtemos A=1 e B=-1. Logo
1(y+1)(y+2) = 1y+1 - 1y+2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral!gl(1y+1 - 1y+2gr)dy ;=;integral -,dx
No lado esquerdo obtemos
lnl|y+1r| ;-;lnl|y+2r| ;=;-x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Juntando os logaritmos:
lnl|y+1y+2r| = -x + C
Exponenciando,
y+1y+2 = K,e^-x, K = e^C
Agora resolvemos para y:
y+1 = K,e^-x,(y+2) Longrightarrow y,(1 - K e^-x) = 2K e^-x - 1
Logo
y(x) = 2K e^-x - 1,1 - K e^-x,,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = 2K e^-x - 11 - K e^-x,
com K constante de integração.

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