Então, a gente tem a função definida para todos os números reais menos zero, ou seja, . A pergunta é: essa função é uniformemente contínua? Para responder isso, vamos precisar entender o que é continuidade uniforme e analisar o comportamento dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade uniforme. Uma função é uniformemente contínua se, para qualquer pequeníssimo , existe um tal que para quaisquer e no domínio de , se , então . Diferente da continuidade comum, o aqui não depende de nenhum ponto específico, mas é válido para todo o domínio.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de próximo de zero. Conforme se aproxima de zero, cresce sem limite, o que faz com que o seno oscile cada vez mais rápido entre -1 e 1. Essa oscilação intensa próxima de zero é suspeita para termos problemas de continuidade uniforme.
Passo 4
Para ver se a função não é uniformemente contínua, podemos tentar encontrar dois pontos e que ficam cada vez mais próximos (isto é, tende a zero) mas tal que não tende a zero. Se conseguirmos isso, mostramos que não existe um que funcione para todos os pontos.
Passo 5
Vamos escolher sequências específicas. Escolha e . Assim, temos:
Então, para todo .
Passo 6
Agora, vamos verificar a distância entre e :
À medida que n aumenta, |xn - yn| tende a zero, ou seja, xn e yn ficam cada vez mais próximos.
Passo 7
Mesmo com |xn - yn| se aproximando de zero, a diferença |f(xn) - f(yn)| = 1 não diminui. Isso significa que não conseguimos fazer |f(x) - f(y)| menor que qualquer epsilon < 1 escolhendo um de<a apropriado para todos os pontos.
Resposta
Portanto, a função f(x) = sin(1x) não é uniformemente contínua em R - 0 .