A função f: R-0 R, definida por f(x)=sin (1x) é uniformemente contínua?

Passo 1

Então, a gente tem a função f(x) = sin(1x) definida para todos os números reais menos zero, ou seja, R - 0 . A pergunta é: essa função é uniformemente contínua? Para responder isso, vamos precisar entender o que é continuidade uniforme e analisar o comportamento dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade uniforme. Uma função f é uniformemente contínua se, para qualquer pequeníssimo epsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que para quaisquer x e y no domínio de f , se |x - y| < de<a , então |f(x) - f(y)| < epsilon . Diferente da continuidade comum, o de<a aqui não depende de nenhum ponto específico, mas é válido para todo o domínio.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de f(x) = sin(1x) próximo de zero. Conforme x se aproxima de zero, 1x cresce sem limite, o que faz com que o seno oscile cada vez mais rápido entre -1 e 1. Essa oscilação intensa próxima de zero é suspeita para termos problemas de continuidade uniforme.

Passo 4

Para ver se a função não é uniformemente contínua, podemos tentar encontrar dois pontos xn e yn que ficam cada vez mais próximos (isto é, |xn - yn| tende a zero) mas tal que |f(xn) - f(yn)| não tende a zero. Se conseguirmos isso, mostramos que não existe um de<a que funcione para todos os pontos.

Passo 5

Vamos escolher sequências específicas. Escolha xn = 1npi e yn = 1npi + pi2 . Assim, temos:
f(xn) = sin(npi) = 0
f(yn) = sin(npi + pi2) = 1
Então, |f(xn) - f(yn)| = |0 - 1| = 1 para todo n .

Passo 6

Agora, vamos verificar a distância entre xn e yn :
|xn - yn| = |1npi - 1npi + pi2| = pi2npi(npi + pi2) = 12n(n + 12)
À medida que n aumenta, |xn - yn| tende a zero, ou seja, xn e yn ficam cada vez mais próximos.

Passo 7

Mesmo com |xn - yn| se aproximando de zero, a diferença |f(xn) - f(yn)| = 1 não diminui. Isso significa que não conseguimos fazer |f(x) - f(y)| menor que qualquer epsilon < 1 escolhendo um de<a apropriado para todos os pontos.

Resposta

Portanto, a função f(x) = sin(1x) não é uniformemente contínua em R - 0 .

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