Determine o valor de y tal que o ângulo entre os vetores seja 60^circ :
a=(1, y) e b=(2,1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de y tais que o ângulo entre os vetores
a=(1,y) e b=(2,1) seja 60^circ. Vamos usar a definição de produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Pelo produto escalar,
acdotb = 1cdot2 + ycdot1 = 2 + y
Os módulos são
|a| = raiz1 + y^2, |b| = raiz2^2 + 1^2 = raiz5

Passo 3

A relação entre produto escalar e cosseno do ângulo é
costheta = acdotb|a|,|b|
Para theta=60^circ, cos60^circ = tfrac12. Logo,
2+yraiz1+y^2,raiz5 = 12

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2raiz5raiz1+y^2 e elevando ao quadrado, obtemos
4,(2+y)^2 = 5,(1+y^2)
Expandindo e rearranjando,
4(y^2 + 4y + 4) = 5 + 5y^2 Longrightarrow 4y^2 + 16y + 16 = 5y^2 + 5 Longrightarrow y^2 - 16y - 11 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
y = 16 pm raiz(-16)^2 - 4cdot1cdot(-11)2 = 16 pm raiz256 + 442 = 16 pm raiz3002 = 8 pm 5raiz3

Resposta

y = 8 + 5raiz3 ou y = 8 - 5raiz3.

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