Determine o valor de c que torna a função
uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa
e
.
Determine o seguinte:
d)
Determine o seguinte:
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ definida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade $ P(X < 2, Y < 2) $. Para isso, vamos precisar entender funções de densidade de probabilidade conjunta e como calcular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, para que $ f(x, y) $ seja uma função densidade de probabilidade conjunta, a integral dela sobre toda a região onde está definida precisa ser igual a 1. Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver essa integral para encontrar o valor de $ c $. Começamos integrando em relação a $ y $:
Então, a integral fica:
Passo 4
Calculando as integrais:
Substituindo na expressão anterior:
Como isso deve ser igual a 1:
Passo 5
Agora que sabemos que $ c = 10 $, vamos calcular $ P(X < 2, Y < 2) $. Lembrando que $ Y < x $ e $ x < 2 $, então a região de integração é $ 0 < y < x < 2 $.
A probabilidade é dada por:
Passo 6
Primeiro, integremos em relação a $ y $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 8
Calculando numericamente:
Substituindo:
No entanto, como estamos calculando uma probabilidade, devemos verificar os cálculos. Parece que houve um erro nos sinais. Revendo:
A expressão correta após substituir os limites é:
Resposta
A probabilidade $ P(X < 2, Y < 2) $ é aproximadamente 0,9695.