Determine o valor de c que torna a função f(x, y)=c e^-2 x-3 y uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 e 0.
Determine o seguinte:
d) P(X<2, Y<2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ definida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade $ P(X < 2, Y < 2) $. Para isso, vamos precisar entender funções de densidade de probabilidade conjunta e como calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, para que $ f(x, y) $ seja uma função densidade de probabilidade conjunta, a integral dela sobre toda a região onde está definida precisa ser igual a 1. Ou seja:
f(x, y)

Passo 3

Vamos resolver essa integral para encontrar o valor de $ c $. Começamos integrando em relação a $ y $:
c
Então, a integral fica:
y

Passo 4

Calculando as integrais:
integral0^infty e^-2x , dx = 12
integral0^infty e^-5x , dx = 15
Substituindo na expressão anterior:
c cdot 13 cdot 12 - c cdot 13 cdot 15 = c ( 16 - 115 ) = c cdot 5 - 230 = c cdot 330 = c10
Como isso deve ser igual a 1:
c10 = 1 implies c = 10

Passo 5

Agora que sabemos que $ c = 10 $, vamos calcular $ P(X < 2, Y < 2) $. Lembrando que $ Y < x $ e $ x < 2 $, então a região de integração é $ 0 < y < x < 2 $.
A probabilidade é dada por:
c = 10

Passo 6

Primeiro, integremos em relação a $ y $:
y
Então, a integral fica:
integral0^x e^-3y , dy = [ -13 e^-3y ]0^x = 13 (1 - e^-3x)

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
x
integral e^-2x , dx = -12 e^-2x
Aplicando os limites de 0 a 2:
integral e^-5x , dx = -15 e^-5x
103 ( [ -12 e^-2x ]0^2 - [ -15 e^-5x ]0^2 )
= 103 ( -12 e^-4 + 12 - ( -15 e^-10 + 15 ) )

Passo 8

Calculando numericamente:
1 - e^-4 approx 1 - 0.0183 = 0.9817
1 - e^-10 approx 1 - 0.0000454 = 0.9999546
Substituindo:
103 ( 12 cdot 0.9817 + 15 cdot 0.9999546 ) = 103 ( 0.49085 + 0.1999909 ) = 103 cdot 0.690840 approx 2.3028
No entanto, como estamos calculando uma probabilidade, devemos verificar os cálculos. Parece que houve um erro nos sinais. Revendo:
A expressão correta após substituir os limites é:
103 ( 12 (1 - e^-4) - 15 (1 - e^-10) )
= 103 ( 0.49085 - 0.1999909 ) = 103 cdot 0.2908591 approx 0.9695

Resposta

A probabilidade $ P(X < 2, Y < 2) $ é aproximadamente 0,9695.

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