Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham uma função densidade de probabilidade conjunta f(x, y, z)=8 x y z para 0 0. Determine o seguinte:
b) P(X<0,5 ; Y<0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Probabilidade onde temos três variáveis aleatórias: $ X $, $ Y $ e $ Z $. A função densidade de probabilidade conjunta delas é dada por $ f(x, y, z) = 8xyz $ para $ 0 < x < 1 $, $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < z < 1 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de que $ X $ seja menor que 0,5 e $ Y $ seja menor que 0,5, ou seja, $ P(X < 0,5; Y < 0,5) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando queremos encontrar a probabilidade de duas variáveis aleatórias estarem dentro de certos limites, usamos a integração dupla da função densidade conjunta sobre essas regiões. No nosso caso, como estamos interessados em $ X < 0,5 $ e $ Y < 0,5 $, vamos integrar $ f(x, y, z) $ em $ x $ de 0 a 0,5 e em $ y $ de 0 a 0,5.

Passo 3

Mas pera aí, a gente ainda tem a variável $ Z $ na função densidade. Como a probabilidade que a gente quer não depende de $ Z $, podemos integrar $ Z $ de 0 a 1 para “eliminar” essa variável. Então, nossa integral fica:
Z

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a $ Z $:
Z
Então, a integral simplifica para:
integral0^1 8xyz , dz = 8xy integral0^1 z , dz = 8xy [ z^22 ]0^1 = 8xy ( 12 - 0 ) = 4xy

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a $ Y $:
Y
Então, a integral agora é:
integral0^0,5 4xy , dy = 4x integral0^0,5 y , dy = 4x [ y^22 ]0^0,5 = 4x ( 0,252 - 0 ) = 4x times 0,125 = 0,5x

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a $ X $:
X

Resposta

A probabilidade $ P(X < 0,5; Y < 0,5) $ é 0,0625.

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