Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham uma função densidade de probabilidade conjunta
para
. Determine o seguinte:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Probabilidade onde temos três variáveis aleatórias: $ X $, $ Y $ e $ Z $. A função densidade de probabilidade conjunta delas é dada por $ f(x, y, z) = 8xyz $ para $ 0 < x < 1 $, $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < z < 1 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de que $ X $ seja menor que 0,5 e $ Y $ seja menor que 0,5, ou seja, $ P(X < 0,5; Y < 0,5) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando queremos encontrar a probabilidade de duas variáveis aleatórias estarem dentro de certos limites, usamos a integração dupla da função densidade conjunta sobre essas regiões. No nosso caso, como estamos interessados em $ X < 0,5 $ e $ Y < 0,5 $, vamos integrar $ f(x, y, z) $ em $ x $ de 0 a 0,5 e em $ y $ de 0 a 0,5.
Passo 3
Mas pera aí, a gente ainda tem a variável $ Z $ na função densidade. Como a probabilidade que a gente quer não depende de $ Z $, podemos integrar $ Z $ de 0 a 1 para “eliminar” essa variável. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a $ Z $:
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a $ Y $:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a $ X $:
Resposta
A probabilidade $ P(X < 0,5; Y < 0,5) $ é 0,0625.