Suponha que
e
sejam estimadores não tendenciosos do parâmetros
. Sabemos que
e
. Qual é o melhor estimador e em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa do dois estimadores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois estimadores,
e
, que são métodos para estimar um parâmetro desconhecido
. Ambos são não tendenciosos, o que significa que, em média, eles acertam o valor de
. A gente sabe que a variância de
é 10 e a variância de
é 4. A gente vai descobrir qual dos dois é melhor e calcular a eficiência relativa entre eles. Para isso, vamos precisar entender conceitos de variância de estimadores e eficiência relativa.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre variância. A variância de um estimador nos diz o quão “espalhados” estão as possíveis estimativas ao redor do valor verdadeiro de
. Quanto menor a variância, mais precisas são as estimativas do nosso estimador. Então, entre dois estimadores não tendenciosos, aquele com a menor variância é considerado melhor porque suas estimativas são mais consistentes.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Comparando esses valores, vemos que 4 é menor que 10. Portanto,
tem menor variância e, consequentemente, é um melhor estimador no sentido de precisão das estimativas.
Passo 4
Agora, vamos calcular a eficiência relativa entre os dois estimadores. A eficiência relativa compara a variância de dois estimadores para ver qual é mais eficiente. A fórmula para a eficiência relativa do estimador
em relação a
é:
Isso nos mostra quantas vezes um estimador é mais eficiente que o outro.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Isso significa que
é 0,4 vezes (ou 40%) tão eficiente quanto
. Porém, como
tem menor variância, na verdade estamos vendo que ele é mais eficiente em relação a
.
Resposta
O estimador
é melhor porque possui menor variância, tornando suas estimativas mais precisas. A eficiência relativa de
em relação a
é 0,4 (ou 40%), indicando que
é mais eficiente.