Suponha que widehatTheta1 e widehatTheta2 sejam estimadores não tendenciosos do parâmetros theta. Sabemos que V(widehatTheta1)=10 e V(widehatTheta2)=4. Qual é o melhor estimador e em que sentido ele é melhor? Calcule a eficiência relativa do dois estimadores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois estimadores, widehatTheta1 e widehatTheta2, que são métodos para estimar um parâmetro desconhecido theta. Ambos são não tendenciosos, o que significa que, em média, eles acertam o valor de theta. A gente sabe que a variância de widehatTheta1 é 10 e a variância de widehatTheta2 é 4. A gente vai descobrir qual dos dois é melhor e calcular a eficiência relativa entre eles. Para isso, vamos precisar entender conceitos de variância de estimadores e eficiência relativa.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre variância. A variância de um estimador nos diz o quão “espalhados” estão as possíveis estimativas ao redor do valor verdadeiro de theta. Quanto menor a variância, mais precisas são as estimativas do nosso estimador. Então, entre dois estimadores não tendenciosos, aquele com a menor variância é considerado melhor porque suas estimativas são mais consistentes.

Passo 3

No nosso caso, V(widehatTheta1) = 10 e V(widehatTheta2) = 4. Comparando esses valores, vemos que 4 é menor que 10. Portanto, widehatTheta2 tem menor variância e, consequentemente, é um melhor estimador no sentido de precisão das estimativas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a eficiência relativa entre os dois estimadores. A eficiência relativa compara a variância de dois estimadores para ver qual é mais eficiente. A fórmula para a eficiência relativa do estimador widehatTheta1 em relação a widehatTheta2 é:
Eficiência Relativa = V(widehatTheta2)V(widehatTheta1) ê
Isso nos mostra quantas vezes um estimador é mais eficiente que o outro.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Eficiência Relativa = 410 = 0,4 ê
Isso significa que widehatTheta2 é 0,4 vezes (ou 40%) tão eficiente quanto widehatTheta1. Porém, como widehatTheta2 tem menor variância, na verdade estamos vendo que ele é mais eficiente em relação a widehatTheta1.

Resposta

O estimador widehatTheta2 é melhor porque possui menor variância, tornando suas estimativas mais precisas. A eficiência relativa de widehatTheta2 em relação a widehatTheta1 é 0,4 (ou 40%), indicando que widehatTheta2 é mais eficiente.

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