Prove que a função f(x)=x^5+2 x+1 tem pelo menos uma raiz no intervalo [-1,0].

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^5+2x+1 e pede para mostrar que ela possui pelo menos uma raiz no intervalo [-1,0]. O conteúdo aplicado aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que exige que a função seja contínua no intervalo considerado e mostre mudança de sinal nas extremidades.

Passo 2

Como f é polinomial, ela é contínua em todo R, em particular em [-1,0]. Logo, está satisfeita a hipótese de continuidade do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(-1)=(-1)^5+2cdot(-1)+1=-1-2+1=-2<0,
e
f(0)=0^5+2cdot0+1=1>0

Passo 4

Como f(-1)<0 e f(0)>0, há mudança de sinal em [-1,0]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(-1,0) tal que f(c)=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de f em [-1,0], isto é, um cin(-1,0) com f(c)=0.

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