Verifique se existe pelo menos uma raiz real no intervalo [2,3] para a equação sin (pi x)x+ln (x)=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
sin(pi x)x + ln(x) = 1
tem pelo menos uma raiz real em [2,3].
O conteúdo usado será Continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vamos definir
f(x) = sin(pi x)x + ln(x) - 1
e mostrar que f(2) e f(3) têm sinais opostos, garantindo uma raiz em (2,3).

Passo 2

Antes de tudo, note que em [2,3] temos x>0, logo sin(pi x)x e ln(x) são contínuas ali. Soma e subtração de funções contínuas dão uma função contínua, então f é contínua em [2,3]. Assim podemos aplicar o TVI.

Passo 3

Calculemos f(2):
sin(2pi)=0 Longrightarrow f(2)=02+ln(2)-1=ln(2)-1
Numericamente,
ln(2)approx0,693 Longrightarrow f(2)approx0,693-1=-0,307

Passo 4

Agora f(3):
sin(3pi)=0 Longrightarrow f(3)=03+ln(3)-1=ln(3)-1
Numericamente,
ln(3)approx1,099 Longrightarrow f(3)approx1,099-1=0,099

Passo 5

Como f(2)approx-0,307<0 e f(3)approx0,099>0, a função contínua f muda de sinal em [2,3]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um cin(2,3) tal que
f(c)=0,
ou seja, a equação original tem ao menos uma raiz real em [2,3].

Resposta

Existe ao menos uma raiz real no intervalo [2,3].

Exercícios relacionados