Determine o valor-verdade das seguintes proposições. O universo de discurso é o conjunto dos números reais.
\exists y \forall x(2 x-y=0)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Universo de discurso: o conjunto dos números reais.
  • A proposição é \exists y \forall x(2x - y = 0).
  • O pedido: determinar o valor-verdade (se a proposição é verdadeira ou falsa) no universo dado.

Passo 2

Significado dos quantificadores (explicação bem prática):
  • \exists y significa “existe algum y real”.
  • \forall x significa “para todo x real”.
    Juntando: \exists y \forall x(2x - y = 0) lê-se "existe um número real y tal que, para todo número real x, vale 2x - y = 0".

Passo 3

Interpretando a equação:
  • A condição 2x - y = 0 é equivalente a y = 2x.
  • Portanto a proposição afirma: “existe um número real y que é igual a 2x para todo x real” — isto é, y teria que ser igual simultaneamente a todos os números da forma 2x quando x varia.

Passo 4

Mostrando que isso é impossível (contraexemplo simples):
  • Suponha, para fins de contradição, que exista tal y.
  • Pela parte \forall x, vale para x=0 que 2\cdot 0 - y = 0. Então y = 0.
  • Também, vale para x=1 que 2\cdot 1 - y = 0. Então y = 2.
  • Assim obteríamos y = 0 e y = 2 ao mesmo tempo, o que é impossível (levando a 0=2, contradição).

Passo 5

Conclusão lógica:
  • A suposição de que existe um y que satisfaça a condição para todo x leva a contradição.
  • Logo, não existe nenhum y real com essa propriedade.
  • Portanto a proposição \exists y \forall x(2x - y = 0) é falsa no universo dos reais.

Passo 6

Comentário final rápido e motivador:
  • Intuitivamente: um número fixo y não pode ser igual a 2x para todos os x diferentes, porque 2x varia com x. Boa técnica para provas: ao ver \exists y \forall x, tente testar dois valores distintos de x para buscar contradição.

Resposta

Falsa.

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