Determine o valor-verdade das seguintes proposições. O universo de discurso é o conjunto dos números reais.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Universo de discurso: o conjunto dos números reais.
- A proposição é
. - O pedido: determinar o valor-verdade (se a proposição é verdadeira ou falsa) no universo dado.
Passo 2
Significado dos quantificadores (explicação bem prática):
-
significa “existe algum real”. -
significa “para todo real”.
Juntando:lê-se "existe um número real tal que, para todo número real , vale ".
Passo 3
Interpretando a equação:
- A condição
é equivalente a . - Portanto a proposição afirma: “existe um número real
que é igual a para todo real” — isto é, teria que ser igual simultaneamente a todos os números da forma quando varia.
Passo 4
Mostrando que isso é impossível (contraexemplo simples):
- Suponha, para fins de contradição, que exista tal
. - Pela parte
, vale para que . Então . - Também, vale para
que . Então . - Assim obteríamos
e ao mesmo tempo, o que é impossível (levando a , contradição).
Passo 5
Conclusão lógica:
- A suposição de que existe um
que satisfaça a condição para todo leva a contradição. - Logo, não existe nenhum
real com essa propriedade. - Portanto a proposição
é falsa no universo dos reais.
Passo 6
Comentário final rápido e motivador:
- Intuitivamente: um número fixo
não pode ser igual a para todos os diferentes, porque varia com . Boa técnica para provas: ao ver , tente testar dois valores distintos de para buscar contradição.
Resposta
Falsa.