Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a integral integral ln(x^2+1),dx. O conteúdo principal é integração por partes, usando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos aplicar essa técnica e depois resolver a parte restante com integrais elementares.

Passo 2

Escolhemos u = ln(x^2+1) e dv = dx. Assim, derivando e integrando, obtemos:
du = 2xx^2+1,dx
v = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
integral ln(x^2+1),dx = x,ln(x^2+1) - integral x cdot 2xx^2+1,dx
Isso leva a:
integral ln(x^2+1),dx = x,ln(x^2+1) - 2integral x^2x^2+1,dx

Passo 4

Para calcular a integral integral x^2x^2+1,dx, reescrevemos a fração como:
x^2x^2+1 = 1 - 1x^2+1
Logo,
integral x^2x^2+1,dx = integral 1,dx - integral 1x^2+1,dx = x - arctan(x)

Passo 5

Substituindo esse resultado em
integral ln(x^2+1),dx = x,ln(x^2+1) - 2integral x^2x^2+1,dx + C,
obtemos:
integral ln(x^2+1),dx = x,ln(x^2+1) - 2l(x - arctan(x)r) + C
A forma simplificada dessa expressão está na resposta final.

Resposta

x,ln(x^2+1) - 2x + 2arctan(x) + C

Exercícios relacionados