Determine:
o valor de x de modo que os quadrados dos números (x+1), \sqrt{x+15},(x+3) formem, nessa ordern, uma P.A.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os x tais que os quadrados dos números (x+1), \sqrt{x+15} e (x+3), nessa ordem, formem uma progressão aritmética (PA). Para isso, vamos usar o fato de que, numa PA de termos a_1,a_2,a_3, vale
2a_2 = a_1 + a_3.

Passo 2

Identificamos os termos da sequência em função de x:
a_1 = (x+1)^2,\quad a_2 = \bigl(\sqrt{x+15}\bigr)^2 = x+15,\quad a_3 = (x+3)^2.

Passo 3

Aplicando a condição de PA,
2a_2 = a_1 + a_3
fica
2(x+15) = (x+1)^2 + (x+3)^2.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar:
2x + 30 = \bigl(x^2 + 2x +1\bigr) + \bigl(x^2 +6x +9\bigr) = 2x^2 +8x +10.
Transferindo tudo para um lado:
0 = 2x^2 +8x +10 -2x -30 = 2x^2 +6x -20.
Dividindo por 2:
x^2 +3x -10 = 0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 -4\cdot1\cdot(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} \implies x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -5.

Passo 5

Faltam as restrições de domínio: como apareceu \sqrt{x+15}, precisamos de
x+15 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -15.
Ambas as soluções 2 e -5 satisfazem x\ge-15.

Resposta

x = 2 ou x = -5

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