5 Determine o valor de x para que os números
e
estejam, nessa ordem. em P.A.
Passo 1
O enunciado pede para achar
de modo que os três números
,
e
formem, nessa ordem, uma progressão aritmética. O conteúdo principal aqui é usar a definição de progressão aritmética e propriedades de logaritmo.
formem, nessa ordem, uma progressão aritmética. O conteúdo principal aqui é usar a definição de progressão aritmética e propriedades de logaritmo.
Passo 2
Lembrando que três termos
,
,
estão em P.A. se, e somente se,
Aqui identificamos
Passo 3
Aplicando a condição de P.A. temos
Além disso
, pois
. Logo a equação vira
Passo 4
Vamos isolar os logaritmos numa única expressão. Subtraindo
dos dois lados:
Pela propriedade
, isso equivale a
Passo 5
Converter para forma exponencial:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e reorganizando:
Esse trinômio é
, logo
Passo 6
Por fim, conferir o domínio dos logaritmos: precisamos de
e
, ou seja
e
. Como
satisfaz ambas, a solução é válida.