5 Determine o valor de x para que os números \log _{2} 8, \log _{2}(x+9) e \log _{2}(x+7) estejam, nessa ordem. em P.A.

Passo 1

O enunciado pede para achar x de modo que os três números
\log_{2}8, \log_{2}(x+9) e \log_{2}(x+7)
formem, nessa ordem, uma progressão aritmética. O conteúdo principal aqui é usar a definição de progressão aritmética e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Lembrando que três termos a, b, c estão em P.A. se, e somente se,
2b = a + c.
Aqui identificamos
a = \log_{2}8,\quad b = \log_{2}(x+9),\quad c = \log_{2}(x+7).

Passo 3

Aplicando a condição de P.A. temos
2\,\log_{2}(x+9) = \log_{2}8 + \log_{2}(x+7).
Além disso \log_{2}8 = 3, pois 8 = 2^3. Logo a equação vira
2\,\log_{2}(x+9) = 3 + \log_{2}(x+7).

Passo 4

Vamos isolar os logaritmos numa única expressão. Subtraindo \log_{2}(x+7) dos dois lados:
2\,\log_{2}(x+9) - \log_{2}(x+7) = 3.
Pela propriedade m\log_{2}A - \log_{2}B = \log_{2}\bigl(A^{m}/B\bigr), isso equivale a
\log_{2}\!\biggl(\frac{(x+9)^{2}}{x+7}\biggr) = 3.

Passo 5

Converter para forma exponencial:
\frac{(x+9)^{2}}{x+7} = 2^{3} = 8.
Multiplicando ambos os lados por x+7:
(x+9)^{2} = 8(x+7).
Expandindo e reorganizando:
x^{2} + 18x + 81 = 8x + 56 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 10x + 25 = 0.
Esse trinômio é (x+5)^{2}=0, logo
x = -5.

Passo 6

Por fim, conferir o domínio dos logaritmos: precisamos de x+9>0 e x+7>0, ou seja x>-9 e x>-7. Como -5 satisfaz ambas, a solução é válida.

Resposta

-5

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