Determine:
o valor de x, tal que os números x^{2},(x+2)^{2} e(x+3)^{2} formem, nessa ordem, uma P.A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de x tal que os números
x^{2},\quad (x+2)^{2},\quad (x+3)^{2}
formem, nessa ordem, uma progressão aritmética (PA). Para isso, vamos usar a propriedade básica de PA: a diferença entre termos consecutivos é constante.

Passo 2

Em uma PA, o segundo termo menos o primeiro é igual ao terceiro termo menos o segundo. Logo, a condição é
(x+2)^{2} - x^{2} \;=\;(x+3)^{2} - (x+2)^{2}.

Passo 3

Calculando cada diferença, temos
(x+2)^{2} - x^{2} = x^{2}+4x+4 - x^{2} = 4x+4,
(x+3)^{2} - (x+2)^{2} = \bigl(x^{2}+6x+9\bigr) - \bigl(x^{2}+4x+4\bigr) = 2x+5.

Passo 4

Igualando as duas expressões obtidas e resolvendo para x:
4x+4 = 2x+5
4x - 2x = 5 - 4
2x = 1
x = \frac{1}{2}.

Resposta

x = \displaystyle \frac{1}{2}

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