6 São dadas duas sequências: \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n^{\prime}}, \ldots\right) e \left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n^{\prime}}, \ldots\right). Sabe-se que y_{1}=1 e y_{2}=2, que x_{n}=y_{n+1}-y_{n} e que a primeira sequência é uma progressão aritmética de razão 3.
a) Escreva os 4 primeiros termos da sequência \left(x_{n}\right).
b) Escreva os 4 primeiros termos da sequência \left(y_{n}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \bigl(x_n\bigr) e \bigl(y_n\bigr) tais que
  1. y_{1}=1 e y_{2}=2.
  2. x_{n}=y_{n+1}-y_{n}.
  3. \bigl(x_n\bigr) é uma progressão aritmética de razão 3.
    Para resolver, vamos primeiro achar a fórmula geral de x_n usando que x_1=y_2-y_1, depois usaremos a relação de recorrência y_{n+1}=y_n+x_n para obter os primeiros y_n.

Passo 2

Como \bigl(x_n\bigr) é uma PA de razão 3, tem forma
x_n = a + (n-1)\cdot 3
onde a = x_1. Mas
x_1 = y_2 - y_1 = 2 - 1 = 1.
Logo
x_n = 1 + 3(n-1) = 3n - 2.

Passo 3

Agora calculamos os quatro primeiros termos de \bigl(x_n\bigr) usando x_n=3n-2:
x_1 = 3\cdot1 - 2 = 1,\quad x_2 = 3\cdot2 - 2 = 4,
x_3 = 3\cdot3 - 2 = 7,\quad x_4 = 3\cdot4 - 2 = 10.

Passo 4

Usamos a relação y_{n+1}=y_n + x_n com y_1=1 para obter y_2,y_3,y_4:
y_2 = y_1 + x_1 = 1 + 1 = 2,
y_3 = y_2 + x_2 = 2 + 4 = 6,
y_4 = y_3 + x_3 = 6 + 7 = 13.

Resposta

a) Os quatro primeiros termos de \bigl(x_n\bigr) são
\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) = (1,\,4,\,7,\,10).
b) Os quatro primeiros termos de \bigl(y_n\bigr) são
\bigl(y_1,y_2,y_3,y_4\bigr) = (1,\,2,\,6,\,13).

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