Determine o valor de x para o qual os vetores \vec{v}=(6,4 x,-2) e \vec{w}=(-5,-4,4) são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de x tal que os vetores \vec{v}=(6,4x,-2) e \vec{w}=(-5,-4,4) sejam perpendiculares. O conteúdo usado aqui é produto escalar: dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Escrevemos a condição de perpendicularidade via produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{w}=0
e calculamos
\vec{v}\cdot\vec{w} =6\cdot(-5)+(4x)\cdot(-4)+(-2)\cdot4.

Passo 3

Agora simplificamos a expressão:
\vec{v}\cdot\vec{w} =-30-16x-8 =-16x-38.

Passo 4

Impondo \vec{v}\cdot\vec{w}=0, temos
-16x-38=0 \quad\Longrightarrow\quad -16x=38 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{38}{-16}=-\frac{19}{8}.

Resposta

x=-\tfrac{19}{8}

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