( 2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências são representadas pela função utilidade
. Denote os preços dos bens por
e
e represente a riqueza do consumidor por
.
(a) (1,0 ponto) Calcule as demandas pelos dois bens,
e
. Não precisa checar as condições de segunda ordem.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre a função utilidade indireta. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange no problema de maximização de utilidade? Verifique.
(a) (1,0 ponto) Calcule as demandas pelos dois bens,
(b) ( 1,0 ponto) Encontre a função utilidade indireta. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange no problema de maximização de utilidade? Verifique.
Passo 1
O enunciado trata de um consumidor com utilidade do tipo CES
onde
. Os preços são
e a riqueza é
. Vamos primeiro maximizar
sujeita à restrição orçamentária
para obter as demandas
e
.
Passo 2
Escrevemos o Lagrangeano
As condições de primeira ordem são, para
,
Daí obtemos
Passo 3
Fazendo a razão das condições de
e
para eliminar
, vem
Defina
; então
.
Passo 4
Usamos a restrição orçamentária para achar
:
Substituindo
e rearranjando, obtemos
Passo 5
Agora encontramos a utilidade indireta
Fazendo as contas (ou usando o fato conhecido para CES), chega-se a
Passo 6
Por fim, a relação com o multiplicador de Lagrange
:
na teoria de dualidade, equivale à utilidade marginal da riqueza, isto é
na teoria de dualidade,
Como
é homogênea de grau 1 em
, temos
Logo
o que confirma a relação desejada.
Resposta
A utilidade indireta é
e o multiplicador de Lagrange satisfaz
.