( 2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências são representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}^{\rho}+x_{2}^{\rho}\right)^{1 / \rho}, 0<\rho<1. Denote os preços dos bens por p_{1} e p_{2} e represente a riqueza do consumidor por w.
(a) (1,0 ponto) Calcule as demandas pelos dois bens, x_{1}(\boldsymbol{p}, w) e x_{2}(\boldsymbol{p}, w). Não precisa checar as condições de segunda ordem.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre a função utilidade indireta. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange no problema de maximização de utilidade? Verifique.

Passo 1

O enunciado trata de um consumidor com utilidade do tipo CES
u(x_{1},x_{2}) = \bigl(x_{1}^{\rho} + x_{2}^{\rho}\bigr)^{1/\rho},
onde 0<\rho<1. Os preços são p_{1},p_{2} e a riqueza é w. Vamos primeiro maximizar \,u(x_{1},x_{2}) sujeita à restrição orçamentária
p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} = w
para obter as demandas x_{1}(p,w) e x_{2}(p,w).

Passo 2

Escrevemos o Lagrangeano
\mathcal{L} = \bigl(x_{1}^{\rho} + x_{2}^{\rho}\bigr)^{1/\rho} \;-\;\lambda\,(p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2}-w).
As condições de primeira ordem são, para i=1,2,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}} = \bigl(x_{1}^{\rho}+x_{2}^{\rho}\bigr)^{\frac{1}{\rho}-1}\,x_{i}^{\rho-1} \;-\;\lambda\,p_{i} \;=\;0.
Daí obtemos
\bigl(x_{1}^{\rho}+x_{2}^{\rho}\bigr)^{\frac{1}{\rho}-1}x_{i}^{\rho-1} = \lambda\,p_{i}.

Passo 3

Fazendo a razão das condições de i=1 e i=2 para eliminar \lambda, vem
\frac{x_{1}^{\rho-1}}{x_{2}^{\rho-1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{x_{1}}{x_{2}}\Bigr)^{\rho-1} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_{1}}{x_{2}} = \Bigl(\frac{p_{2}}{p_{1}}\Bigr)^{\frac{1}{1-\rho}}.
Defina A = (p_{2}/p_{1})^{1/(1-\rho)}; então x_{1} = A\,x_{2}.

Passo 4

Usamos a restrição orçamentária para achar x_{2}:
p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} = p_{1}(A\,x_{2}) + p_{2}x_{2} = x_{2}\bigl(p_{1}A + p_{2}\bigr) = w \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{w}{p_{1}A + p_{2}}.
Substituindo A=(p_{2}/p_{1})^{1/(1-\rho)} e rearranjando, obtemos
x_{2}(p,w) = \frac{w\,p_{2}^{-\tfrac{1}{1-\rho}}} {p_{1}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}} \;+\; p_{2}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}} \quad\text{e}\quad x_{1}(p,w) = \frac{w\,p_{1}^{-\tfrac{1}{1-\rho}}} {p_{1}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}} \;+\; p_{2}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}}.

Passo 5

Agora encontramos a utilidade indireta
v(p,w) \;=\; u\bigl(x_{1}(p,w),\,x_{2}(p,w)\bigr) = \Bigl(x_{1}(p,w)^{\rho} + x_{2}(p,w)^{\rho}\Bigr)^{1/\rho}.
Fazendo as contas (ou usando o fato conhecido para CES), chega-se a
v(p,w) = w\;\Bigl( p_{1}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}} + p_{2}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}} \Bigr)^{\!\tfrac{1-\rho}{\rho}}.

Passo 6

Por fim, a relação com o multiplicador de Lagrange \lambda:
na teoria de dualidade, \lambda equivale à utilidade marginal da riqueza, isto é
\lambda(p,w) \;=\; \frac{\partial\,v(p,w)}{\partial w}.
Como v(p,w) é homogênea de grau 1 em w, temos
v(p,w) = w\;g(p) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial w} = g(p) = \frac{v(p,w)}{w}.
Logo
\lambda(p,w) = \frac{v(p,w)}{w},
o que confirma a relação desejada.

Resposta

x_{1}(p,w)=\dfrac{w\,p_{1}^{-\tfrac{1}{1-\rho}}}{p_{1}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}+p_{2}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}}, x_{2}(p,w)=\dfrac{w\,p_{2}^{-\tfrac{1}{1-\rho}}}{p_{1}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}+p_{2}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}}.
A utilidade indireta é
v(p,w)=w\;\Bigl(p_{1}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}+p_{2}^{-\tfrac{\rho}{1-\rho}}\Bigr)^{\tfrac{1-\rho}{\rho}},
e o multiplicador de Lagrange satisfaz \lambda(p,w)=\partial v/\partial w = v(p,w)/w.

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