Sejam \vec{v}=(3,-1,-5) e \vec{w}=(1,6,-4). Determine o vetor unitário na mesma direção e sentido que o vetor \vec{x}=-4 \vec{v}+4 \vec{w}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec v=(3,-1,-5) e \vec w=(1,6,-4) e pede para encontrarmos o vetor unitário na direção e sentido de \displaystyle \vec x=-4\vec v+4\vec w.
O que vamos usar: soma e subtração de vetores, multiplicação por escalar e cálculo da norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro calculamos a combinação interna
\vec w - \vec v = (1,6,-4) - (3,-1,-5) = (-2,7,1)
e daí
\vec x = -4\vec v + 4\vec w = 4\,(\vec w - \vec v) = 4\,(-2,7,1) = (-8,28,4).

Passo 3

Agora calculamos a norma de \vec x:
\|\vec x\| = \sqrt{(-8)^2 + 28^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 784 + 16} = \sqrt{864} = 12\sqrt{6}.

Passo 4

O vetor unitário na mesma direção e sentido de \vec x é
\vec u = \frac{\vec x}{\|\vec x\|} = \frac{(-8,28,4)}{12\sqrt{6}} = \Bigl(-\tfrac{2}{3\sqrt{6}},\,\tfrac{7}{3\sqrt{6}},\,\tfrac{1}{3\sqrt{6}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \Bigl(-\frac{2}{3\sqrt{6}},\,\frac{7}{3\sqrt{6}},\,\frac{1}{3\sqrt{6}}\Bigr)

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