Determine os valores de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de a reais o limite limx a f(x) existe. A função f(x) está dividida em três partes:
f(x) = e^x, & se x <= 0 x - 1, & 0 < x < 1 ln x, & x >= 1
Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e verificar onde podem surgir problemas para o limite existir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para o limite limx a f(x) existir, o valor que f(x) se aproxima quando x vem pela esquerda de a (limite à esquerda) deve ser igual ao valor que f(x) se aproxima quando x vem pela direita de a (limite à direita).
Vamos analisar os pontos onde a definição da função muda, que são a = 0 e a = 1 . Fora esses pontos, cada parte da função é contínua, então os limites existem para todo a diferente de 0 e 1.

Passo 3

Analisando em a = 0 :
  • Limite pela esquerda ( x <= 0 ):
    Aqui, f(x) = e^x . Então,
limx 0^- f(x) = e^0 = 1
  • Limite pela direita ( 0 < x < 1 ):
    Aqui, f(x) = x - 1 . Então,
limx 0^+ f(x) = 0 - 1 = -1
Como 1 neq -1 , o limite em a = 0 não existe.

Passo 4

Analisando em a = 1 :
  • Limite pela esquerda ( 0 < x < 1 ):
    Aqui, f(x) = x - 1 . Então,
limx 1^- f(x) = 1 - 1 = 0
  • Limite pela direita ( x >= 1 ):
    Aqui, f(x) = ln x . Então,
limx 1^+ f(x) = ln 1 = 0
Como 0 = 0 , o limite em a = 1 existe e é igual a 0.

Passo 5

Para todos os outros valores de a diferentes de 0 e 1, cada parte da função f(x) é contínua no seu domínio. Ou seja, não há saltos ou quebras, então os limites existem normalmente.

Resposta

O limite limx a f(x) existe para todo número real a exceto quando a = 0 . Ou seja, os valores de a são:
a in R setminus 0

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