Nos problemas 23-28, um sistema linear é regido pelo problema de valor inicial dado. Ache a função de transferência H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t) e dê uma fórmula para a solução do problema de valor inicial.
y^prime prime+9 y=g(t);
y(0)=2, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''(t)+9,y(t)=g(t), y(0)=2,;y'(0)=-3
O conteúdo é transformada de Laplace e resposta a impulso. Vamos precisar da definição de função de transferência H(s)=Y(s)/G(s) com condições iniciais nulas, da transformada inversa para obter h(t), e da superposição (solução homogênea mais convolução) para dar a solução completa.

Passo 2

Para achar a função de transferência, tomamos Laplace com condições iniciais nulas:
Ly'' +9, Ly = Lg ;Longrightarrow; s^2Y(s)+9Y(s)=G(s)
Logo,
H(s)=Y(s)G(s)=1s^2+9

Passo 3

A resposta ao impulso h(t) é a transformada inversa de H(s):
h(t)= L^-1l1s^2+3^2r =13sin(3t)

Passo 4

A solução geral do PVI vem da soma da homogênea e da particular por convolução:
y(t)=yh(t)+yp(t),
com
yp(t)=integral0^th(t-tau),g(tau),dtau =13integral0^tsinl(3(t-tau)r),g(tau),dtau
A parte homogênea satisfaz
yh''+9yh=0,
cuja solução é
yh(t)=Acos(3t)+Bsin(3t)

Passo 5

Impondo as condições iniciais em y(t)=yh(t) no instante t=0 (antes de g agir):
y(0)=A=2, y'(t)=-3Asin(3t)+3Bcos(3t);Longrightarrow;y'(0)=3B=-3;Longrightarrow;B=-1
Logo
yh(t)=2cos(3t)-sin(3t)
Assim a solução completa é
boxedy(t)=2cos(3t)-sin(3t) +13integral0^tsinl(3(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

H(s)=dfrac1s^2+9
h(t)=dfrac13sin(3t)
y(t)=2cos(3t)-sin(3t) +13integral0^tsinl(3(t-tau)r),g(tau),dtau

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