Nos problemas 23-28, um sistema linear é regido pelo problema de valor inicial dado. Ache a função de transferência H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t) e dê uma fórmula para a solução do problema de valor inicial.
y^prime prime-9 y=g(t) ; y(0)=2, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''-9y = g(t), y(0)=2,;y'(0)=0
e pede
  1. a função de transferência H(s)=Y(s)/G(s),
  2. a resposta ao impulso h(t),
  3. uma fórmula para a solução y(t).
    Vamos usar transformada de Laplace, resposta ao impulso via transformada inversa e convolução para a solução geral.

Passo 2

Assumindo condições iniciais nulas ( y(0)=y'(0)=0), aplicamos Laplace em
y''-9y = g(t)
e obtemos
(s^2-9),Y(s) = G(s)
Logo a função de transferência é
H(s)=Y(s)G(s)=1s^2-9

Passo 3

A resposta ao impulso é a transformada inversa de . Como
temos

Passo 4

Agora incluímos as condições iniciais para escrever . Em geral
então de
vem
isto é

Passo 5

Fazendo a transformada inversa, o termo tfrac2ss^2-9 gera a solução homogênea
yh(t)=2cosh(3t),
e o termo tfracG(s)s^2-9 gera a convolução com h(t):
yp(t)=integral0^th(t-tau),g(tau),dtau =integral0^te^3(t-tau)-e^-3(t-tau)6,g(tau),dtau
Assim a solução completa é
y(t)=2cosh(3t) +integral0^te^3(t-tau)-e^-3(t-tau)6,g(tau),dtau

Resposta

H(s)=dfrac1s^2-9
h(t)=dfrac16l(e^3t-e^-3tr)
y(t)=2cosh(3t) +integral0^te^3(t-tau)-e^-3(t-tau)6,g(tau),dtau

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