Nos problemas 23-28, um sistema linear é regido pelo problema de valor inicial dado. Ache a função de transferência H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t) e dê uma fórmula para a solução do problema de valor inicial.
y^prime prime+2 y^prime-15 y=g(t);
y(0)=0, y^prime(0)=8

Passo 1

O enunciado fornece o sistema LTI regido pela EDO
y''+2y'-15y=g(t),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=8. O objetivo é:
  1. Encontrar a função de transferência H(s)=tfracY(s)G(s) assumindo condições iniciais nulas.
  2. A resposta ao impulso h(t)=L^-1H(s).
  3. Uma fórmula para a solução y(t) do problema de valor inicial geral.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na EDO com condições nulas obtemos
s^2Y(s)+2sY(s)-15Y(s)=G(s),
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H(s)=Y(s)G(s)=1s^2+2s-15

Passo 3

Para inverter H(s) fazemos frações parciais em
1(s-3)(s+5)=As-3+Bs+5
Resolvem-se A=tfrac18 e B=-tfrac18, de onde
h(t)=L^-1H(s) =18l(e^3t-e^-5tr), t>=0

Passo 4

A resposta ao impulso captura o comportamento particular. A parte homógênea com as condições iniciais obedece
yh''+2yh'-15yh=0,
cuja solução é yh(t)=C1e^3t+C2e^-5t. Impondo yh(0)=0 e yh'(0)=8 obtém-se
C1=1, C2=-1 Longrightarrow yh(t)=e^3t-e^-5t

Passo 5

Por superposição, a solução geral é a soma da resposta ao impulso convoluída com g(t) mais a parte homógênea:
y(t)=integral0^th(t-tau),g(tau),dtau + yh(t) =integral0^t18l(e^3(t-tau)-e^-5(t-tau)r)g(tau),dtau +e^3t-e^-5t

Resposta

H(s)=1s^2+2s-15
h(t)=18l(e^3t-e^-5tr) para t>=0
y(t)=integral0^t18l(e^3(t-tau)-e^-5(t-tau)r)g(tau),dtau +e^3t-e^-5t

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