Nos problemas 23-28, um sistema linear é regido pelo problema de valor inicial dado. Ache a função de transferência
para o sistema e a função de resposta ao impulso
e dê uma fórmula para a solução do problema de valor inicial.
;
Passo 1
O enunciado fornece o sistema LTI regido pela EDO
com condições iniciais
,
. O objetivo é:
- Encontrar a função de transferência
assumindo condições iniciais nulas. - A resposta ao impulso
. - Uma fórmula para a solução
do problema de valor inicial geral.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace na EDO com condições nulas obtemos
logo
Passo 3
Para inverter
fazemos frações parciais em
Resolvem-se
e
, de onde
Passo 4
A resposta ao impulso captura o comportamento particular. A parte homógênea com as condições iniciais obedece
cuja solução é
. Impondo
e
obtém-se
Passo 5
Por superposição, a solução geral é a soma da resposta ao impulso convoluída com
mais a parte homógênea: