Nos problemas 23-28, um sistema linear é regido pelo problema de valor inicial dado. Ache a função de transferência H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t) e dê uma fórmula para a solução do problema de valor inicial.
y^*-y^prime-6 y=g(t);
y(0)=1, y^prime(0)=8

Passo 1

O problema dá a equação diferencial de segunda ordem
y''(t)-y'(t)-6,y(t)=g(t)
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=8.
O que precisamos aqui é:
1. Encontrar a função de transferência H(s)=dfracY(s)G(s) supondo condições iniciais nulas.
2. Obter a resposta ao impulso h(t)=L^-1H(s).
3. Dar uma fórmula para a solução geral y(t) que incorpore tanto a resposta ao impulso (zero-state) quanto a resposta de zero-input que satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Para achar H(s) tomamos a transformada de Laplace da equação, supondo y(0)=0 e y'(0)=0:
Ly''-Ly'-6,Ly = s^2Y(s)-scdot0-0 ;-;(sY(s)-0);-;6Y(s) = (s^2-s-6),Y(s)
Isso deve ser igual a G(s), logo
H(s)=Y(s)G(s)=1s^2-s-6 =1(s-3)(s+2)

Passo 3

Para achar h(t)=L^-1H(s) fazemos frações parciais:
1(s-3)(s+2) =As-3+Bs+2, A+B=0,;2A-3B=1 ;Rightarrow;A=tfrac15,;B=-tfrac15
Assim
h(t)=15,e^3t-15,e^-2t, t>=0

Passo 4

Para incorporar as condições iniciais voltamos à transformada completa:
s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0);-;l(sY(s)-y(0)r);-;6Y(s) =G(s)
Reagrupando:
(s^2-s-6),Y(s) =G(s)+l[s,y(0)+y'(0)-y(0)r] =G(s)+(s+7)
Dividindo por s^2-s-6:
Y(s)=underbrace1(s-3)(s+2),G(s)zero-state ;+;s+7(s-3)(s+2)
O segundo termo é a resposta de zero-input. Fazendo frações parciais em s+7(s-3)(s+2) obtemos
s+7(s-3)(s+2) =2s-3-1s+2 ;Longrightarrow; yZI(t)=2,e^3t-e^-2t
O primeiro termo, em tempo, é a convolução de h(t) com g(t):
yZS(t) =integral0^th(t-tau),g(tau),dtau =15integral0^tl(e^3(t-tau)-e^-2(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

A função de transferência é
H(s)=1s^2-s-6=1(s-3)(s+2)
A resposta ao impulso é
h(t)=15,e^3t-15,e^-2t, t>=0
E a solução do problema de valor inicial vale
y(t) =2,e^3t-e^-2t +15integral0^tl(e^3(t-tau)-e^-2(t-tau)r),g(tau),dtau

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