Determine os valores abaixo.
\operatorname{sen}\left(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
\operatorname{sen}\big(\cos^{-1}\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)\big).
Informações dadas:
\tfrac{\sqrt{2}}{2} é o número que aparece como argumento de \cos^{-1}.
A expressão inteira é o seno do arco cujo cosseno vale \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 2

Entender o que é \cos^{-1}: \cos^{-1}(x) representa o ângulo principal \theta tal que \cos(\theta)=x e esse ângulo está no intervalo [0,\pi] (ou seja, entre 0 e \pi radianos).
Portanto, ao ver \cos^{-1}\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) estamos buscando um \theta\in[0,\pi] tal que
\cos(\theta)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Reconhecer valores notáveis: sabemos (do triângulo retângulo isósceles 45°–45°–90° ou do círculo unitário) que
\cos\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Assim um ângulo que satisfaz \cos(\theta)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} é \theta=\tfrac{\pi}{4}.
Como \tfrac{\pi}{4}\in[0,\pi], esse é justamente o valor principal dado por \cos^{-1}.

Passo 4

Logo,
\cos^{-1}\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Agora precisamos de \operatorname{sen} desse ângulo. Podemos usar a identidade pitagórica para seno e cosseno:
\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1.
Isolando \sin(\theta) obtemos
\sin(\theta)=\pm\sqrt{1-\cos^{2}(\theta)}.
O sinal + ou - depende do quadrante em que \theta está. Como aqui \theta=\tfrac{\pi}{4} está no primeiro quadrante, o seno é positivo, então usamos o sinal +.

Passo 6

Calcular substituindo \cos(\theta)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}:
\sin\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\sqrt{1-\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)^{2}}
=\sqrt{1-\tfrac{2}{4}}
=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}
=\sqrt{\tfrac{1}{2}}
=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\tfrac{\sqrt{2}}{2}

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