Determine os valores abaixo.
\operatorname{tg}\left(\operatorname{sen}^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \operatorname{tg}\!\big(\operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big)\big).
Informações dadas:
  • Está presente \operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big), que é um ângulo cujo seno vale -\tfrac{1}{2}.
  • Lembre que \operatorname{sen}^{-1} (arco-seno) fornece o valor principal do ângulo, isto é, um \theta tal que \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big] e \sin\theta=-\tfrac{1}{2}.
  • A tarefa final é avaliar a tangente desse ângulo.

Passo 2

Interpretação direta da definição do arco-seno: seja
\theta = \operatorname{sen}^{-1}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Isso significa, por definição,
\sin\theta = -\tfrac{1}{2} \quad\text{e}\quad \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].
Explicação didática: \operatorname{sen}^{-1}(x) devolve um ângulo cujo seno é x. Como o intervalo principal é \big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big], valores negativos de seno correspondem a ângulos negativos nesse intervalo.

Passo 3

Identificar o ângulo conhecido: sabemos que \sin\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\tfrac{1}{2}. Então, por simetria ímpar do seno,
\sin\big(-\tfrac{\pi}{6}\big)=-\sin\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=-\tfrac{1}{2}.
Como -\tfrac{\pi}{6}\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big], concluímos que
\theta = \operatorname{sen}^{-1}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{\pi}{6}.
Comentário didático: aqui usei um valor trigonométrico padrão. É comum em provas reconhecer que \operatorname{sen}^{-1}(-\tfrac{1}{2}) é -\tfrac{\pi}{6} porque \tfrac{\pi}{6}=30^\circ tem seno \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora usamos a relação entre tangente, seno e cosseno:
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Precisamos do cosseno de \theta. Usamos a identidade pitagórica
\cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta}.
Explicando: dado \sin\theta, a identidade \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \cos^2\theta=1-\sin^2\theta; o sinal de \cos\theta depende do quadrante do ângulo. Como \theta=-\tfrac{\pi}{6} está no quarto quadrante do intervalo principal (ou, mais diretamente, -\tfrac{\pi}{6}\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]), temos \cos\theta\ge 0, portanto escolhemos o sinal positivo.
Calculemos:
\cos\theta = \sqrt{1-\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{1-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Agora calcule a tangente diretamente:
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
Simplificando para uma forma comum (racionalizando o denominador):
-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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