Determine os valores abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
- Está presente
, que é um ângulo cujo seno vale . - Lembre que
(arco-seno) fornece o valor principal do ângulo, isto é, um tal que e . - A tarefa final é avaliar a tangente desse ângulo.
Passo 2
Interpretação direta da definição do arco-seno: seja
Isso significa, por definição,
Explicação didática:
devolve um ângulo cujo seno é
. Como o intervalo principal é
, valores negativos de seno correspondem a ângulos negativos nesse intervalo.
Passo 3
Identificar o ângulo conhecido: sabemos que
. Então, por simetria ímpar do seno,
Como
, concluímos que
Comentário didático: aqui usei um valor trigonométrico padrão. É comum em provas reconhecer que
é
porque
tem seno
.
Passo 4
Agora usamos a relação entre tangente, seno e cosseno:
Precisamos do cosseno de
. Usamos a identidade pitagórica
Explicando: dado
, a identidade
dá
; o sinal de
depende do quadrante do ângulo. Como
está no quarto quadrante do intervalo principal (ou, mais diretamente,
), temos
, portanto escolhemos o sinal positivo.
Calculemos:
Passo 5
Agora calcule a tangente diretamente:
Simplificando para uma forma comum (racionalizando o denominador):