Sejam
e
vetores não nulos ortogonais entre si. Seja
de modo que existem escalares
e
onde
(ou seja:
é uma combinação linear de
e
).
(a) Calcule
e
;
(b) Escreva
e
em função de
e
.
(a) Calcule
(b) Escreva
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando na questão. A gente tem dois vetores,
e
, que são não nulos e ortogonais entre si. Isso significa que o produto interno deles é zero, ou seja,
.
Aí temos um terceiro vetor,
, que é uma combinação linear de
e
. Isso quer dizer que
pode ser escrito como
, onde
e
são escalares (números reais).
Vamos precisar usar conceitos de produtos internos e combinações lineares para resolver as partes (a) e (b) da questão.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): calcular
e
.
Sabemos que
. Vamos substituir isso na expressão do produto interno.
Primeiro, vamos calcular
:
Usando a propriedade distributiva do produto interno:
Sabemos que
porque os vetores são ortogonais. Então:
Agora,
é o quadrado do módulo de
, ou seja,
.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
de forma semelhante.
Distribuindo:
Novamente,
, então:
E
.
Portanto:
Passo 4
Agora, resumindo o que encontramos na parte (a):
Essas expressões já respondem a parte (a) da questão.
Passo 5
Vamos para a parte (b): escrever
e
em função de
,
e
.
A ideia aqui é isolar
e
nas equações que encontramos na parte (a).
Temos:
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados da equação (1) por
:
De forma semelhante, para
, dividimos a equação (2) por
:
Resposta
Parte (a):
Parte (b):