Sejam u e v vetores não nulos ortogonais entre si. Seja w de modo que existem escalares alpha e beta onde w=a u+beta v (ou seja: w é uma combinação linear de u e v ).
(a) Calcule u cdot w e v cdot w;
(b) Escreva a e beta em função de u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando na questão. A gente tem dois vetores, u e v, que são não nulos e ortogonais entre si. Isso significa que o produto interno deles é zero, ou seja, u cdot v = 0.
Aí temos um terceiro vetor, w, que é uma combinação linear de u e v. Isso quer dizer que w pode ser escrito como w = alpha u + beta v, onde alpha e beta são escalares (números reais).
Vamos precisar usar conceitos de produtos internos e combinações lineares para resolver as partes (a) e (b) da questão.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular u cdot w e v cdot w.
Sabemos que w = alpha u + beta v. Vamos substituir isso na expressão do produto interno.
Primeiro, vamos calcular u cdot w:
u cdot w = u cdot (alpha u + beta v)
Usando a propriedade distributiva do produto interno:
u cdot w = alpha (u cdot u) + beta (u cdot v)
Sabemos que u cdot v = 0 porque os vetores são ortogonais. Então:
u cdot w = alpha (u cdot u) + beta times 0
u cdot w = alpha (u cdot u)
Agora, u cdot u é o quadrado do módulo de u, ou seja, |u|^2.
Portanto:
u cdot w = alpha |u|^2

Passo 3

Agora, vamos calcular v cdot w de forma semelhante.
v cdot w = v cdot (alpha u + beta v)
Distribuindo:
v cdot w = alpha (v cdot u) + beta (v cdot v)
Novamente, u cdot v = 0, então:
v cdot w = alpha times 0 + beta (v cdot v)
v cdot w = beta (v cdot v)
E v cdot v = |v|^2.
Portanto:
v cdot w = beta |v|^2

Passo 4

Agora, resumindo o que encontramos na parte (a):
u cdot w = alpha |u|^2
v cdot w = beta |v|^2
Essas expressões já respondem a parte (a) da questão.

Passo 5

Vamos para a parte (b): escrever alpha e beta em função de u, v e w.
A ideia aqui é isolar alpha e beta nas equações que encontramos na parte (a).
Temos:
u cdot w = alpha |u|^2 (1)
v cdot w = beta |v|^2 (2)
Para encontrar alpha, basta dividir ambos os lados da equação (1) por |u|^2:
alpha = u cdot w|u|^2
De forma semelhante, para beta, dividimos a equação (2) por |v|^2:
beta = v cdot w|v|^2

Resposta

Parte (a):
u cdot w = alpha |u|^2
v cdot w = beta |v|^2
Parte (b):
alpha = u cdot w|u|^2
beta = v cdot w|v|^2

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