Questão 1 - Teorema de Fubini (caso contínuo)
Seja uma função contínua em um retângulo . Pode-se mostrar que a integral dupla
existe e é então dita integrável no sentido de Riemann.
Demonstre que
Passo 1
O enunciado diz que é contínua num retângulo . Sabemos então que
existe (Riemann).
Precisamos mostrar que
O conteúdo usado será a definição de soma de Riemann dupla, continuidade uniforme de em e rearranjo de somas para obter as somas de Riemann iteradas.
Passo 2
Como é contínua em (compacto), ela é limitada e uniformemente contínua. Defina a função
Pela continuidade uniforme de , para todo existe tal que, se então para todo x. Isso garante que, ao aproximar a integral integralc^df(x,y),dy por uma soma de Riemann em y, o erro seja uniformemente pequeno em x. Logo g é contínua em [a,b] e, portanto, integrável.
Passo 3
Seja varepsilon>0.
Escolha uma partição em y, Pycolon c=y0<y1<cdots<ym=d, com malha |Py|<de<a. Então, para cada x e qualquer escolha de pontos de amostragem yj^*in[yj-1,yj], a soma