Questão 1 - Teorema de Fubini (caso contínuo)
Seja f(x, y) uma função contínua em um retângulo R=[a, b] times[c, d] subset R^2. Pode-se mostrar que a integral dupla
integral duplaR f(x, y) d A
existe e f é então dita integrável no sentido de Riemann.
Demonstre que
integral duplaR f(x, y) d x d y=integrala^b(integralc^d f(x, y) d y) d x=integralc^d(integrala^b f(x, y) d x) d y

Passo 1

O enunciado diz que f(x,y) é contínua num retângulo R=[a,b]times[c,d]. Sabemos então que
  1. integral duplaRf(x,y),dA existe (Riemann).
  2. Precisamos mostrar que
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy
O conteúdo usado será a definição de soma de Riemann dupla, continuidade uniforme de f em R e rearranjo de somas para obter as somas de Riemann iteradas.

Passo 2

Como f é contínua em R (compacto), ela é limitada e uniformemente contínua. Defina a função
g(x)=integralc^df(x,y),dy para xin[a,b]
Pela continuidade uniforme de f, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se |y-y'|<de<a então l|f(x,y)-f(x,y')r|<varepsilon2(b-a) para todo x. Isso garante que, ao aproximar a integral integralc^df(x,y),dy por uma soma de Riemann em y, o erro seja uniformemente pequeno em x. Logo g é contínua em [a,b] e, portanto, integrável.

Passo 3

Seja varepsilon>0.
  1. Escolha uma partição em y, Pycolon c=y0<y1<cdots<ym=d, com malha |Py|<de<a. Então, para cada x e qualquer escolha de pontos de amostragem yj^*in[yj-1,yj], a soma
Sy(x) =sumj=1^mfl(x,yj^*r),(yj-yj-1)
satisfaz
l|Sy(x)-g(x)r| =l|sumjl(f(x,yj^*)-f(x,y)r)De<a yjr| <varepsilon2(b-a)sumjDe<a yj =varepsilon2(b-a)(d-c)
  1. Agora escolha uma partição em x, Pxcolon a=x0<x1<cdots<xn=b, com malha suficientemente pequena para que a soma de Riemann de g em x
Sx =sumi=1^ngl(xi^*r),(xi-xi-1)
apresente
l|Sx-!integrala^bg(x),dxr|<varepsilon2

Passo 4

Considere então a partição reticular P=Pxtimes Py de R e tome pontos de amostragem (xi^*,yj^*). A soma de Riemann dupla é
S(P) =sumi=1^nsumj=1^mfl(xi^*,yj^*r),(xi-xi-1)(yj-yj-1) =sumi=1^nSy(xi^*),(xi-xi-1)
Então
l|S(P)-!integrala^bg(x),dxr| <= sumi=1^nl|Sy(xi^*)-g(xi^*)r|De<a xi +l|Sx-!integrala^bg(x),dxr| <varepsilon2+varepsilon2 =varepsilon
Isso mostra que toda soma de Riemann dupla converge para integrala^bg(x),dx, logo
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx
Por simetria (trocando o papel de x e y) obtemos também
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy

Resposta

integral duplaR f(x,y),dx,dy =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy

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