(4,0 pontos) Dada a função
, determine:
a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
b) os valores máximo e mínimo locais;
c) os intervalos de concavidade pra cima e pra baixo;
d) os pontos de inflexão.
a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
b) os valores máximo e mínimo locais;
c) os intervalos de concavidade pra cima e pra baixo;
d) os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, nosso exercício é sobre a função
Ele pede quatro coisas:
a) onde ela cresce e decresce;
b) os extremos locais (máximos e mínimos);
c) onde ela é côncava pra cima e pra baixo;
d) os pontos de inflexão.
a) onde ela cresce e decresce;
b) os extremos locais (máximos e mínimos);
c) onde ela é côncava pra cima e pra baixo;
d) os pontos de inflexão.
Pra resolver isso, vamos usar derivadas: a 1ª derivada indica crescimento/decrescimento e extremos, a 2ª derivada mostra concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculando a 1ª derivada (regra do poder):
Encontramos os candidatos a extremos fazendo
:
Agora, testamos o sinal de
em cada intervalo:
- Para
(ex.: ): → decresce. - Em
(ex.: ): → cresce. - Em
(ex.: ): → decresce. - Para
(ex.: ): → cresce.
Então:
- De
até : decresce - De
até : cresce - De
até : decresce - De
até : cresce
Os extremos aparecem onde o sinal muda:
- Em
, de decrescente pra crescente → mínimo local. - Em
, de crescente pra decrescente → máximo local. - Em
, de decrescente pra crescente → mínimo local.
Calculando os valores:
Passo 3
Agora a 2ª derivada pra concavidade:
A gente acha os pontos onde muda de concavidade fazendo
:
Testando sinal:
- Em
(ex.: ): → côncavo pra cima. - Em
(ex.: ): → côncavo pra baixo. - Em
(ex.: ): → côncavo pra cima.
Passo 4
Os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, em
Para achar as alturas, calcule em
:
Resposta
a) Intervalos de crescimento:
e
.
Intervalos de decrescimento: e
.
Intervalos de decrescimento:
b) Extremos locais:
- Mínimos em
e . - Máximo em
.
c) Concavidade:
- Côncavo para cima em
e . - Côncavo para baixo em
.
d) Pontos de inflexão em
e
.