(4,0 pontos) Dada a função f(x)=x^4-2 x^2-3, determine:
a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
b) os valores máximo e mínimo locais;
c) os intervalos de concavidade pra cima e pra baixo;
d) os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, nosso exercício é sobre a função
f(x)=x^4-2x^2-3
Ele pede quatro coisas:
a) onde ela cresce e decresce;
b) os extremos locais (máximos e mínimos);
c) onde ela é côncava pra cima e pra baixo;
d) os pontos de inflexão.
Pra resolver isso, vamos usar derivadas: a 1ª derivada indica crescimento/decrescimento e extremos, a 2ª derivada mostra concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculando a 1ª derivada (regra do poder):
f'(x)=ddxl(x^4 -2x^2 -3r) =4x^3 -4x
Encontramos os candidatos a extremos fazendo f'(x)=0:
4x^3 -4x =4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=0 ;Longrightarrow; x=-1,0,1
Agora, testamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
  • Para x<-1 (ex.: x=-2): f'(-2)=-24<0 → decresce.
  • Em (-1,0) (ex.: x=-0.5): f'(-0.5)=1,5>0 → cresce.
  • Em (0,1) (ex.: x=0.5): f'(0.5)=-1,5<0 → decresce.
  • Para x>1 (ex.: x=2): f'(2)=24>0 → cresce.
Então:
  • De -infty até -1: decresce
  • De -1 até 0: cresce
  • De 0 até 1: decresce
  • De 1 até +infty: cresce
Os extremos aparecem onde o sinal muda:
  • Em x=-1, de decrescente pra crescente → mínimo local.
  • Em x=0, de crescente pra decrescente → máximo local.
  • Em x=1, de decrescente pra crescente → mínimo local.
Calculando os valores:
f(-1)=(-1)^4 -2(-1)^2 -3=1-2-3=-4, f(0)=-3, f(1)=1-2-3=-4

Passo 3

Agora a 2ª derivada pra concavidade:
f''(x)=ddx(4x^3-4x)=12x^2-4
A gente acha os pontos onde muda de concavidade fazendo f''(x)=0:
12x^2-4=0;Longrightarrow;x^2=tfrac13;Longrightarrow;x=pmtfrac1raiz3
Testando sinal:
  • Em x<-tfrac1raiz3 (ex.: -1): f''(-1)=8>0 → côncavo pra cima.
  • Em -tfrac1raiz3<x<tfrac1raiz3 (ex.: 0): f''(0)=-4<0 → côncavo pra baixo.
  • Em x>tfrac1raiz3 (ex.: 1): f''(1)=8>0 → côncavo pra cima.

Passo 4

Os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, em
x=-tfrac1raiz3, x=+tfrac1raiz3
Para achar as alturas, calcule em f:
f!l(pmtfrac1raiz3r) =l(tfrac1raiz3r)^4-2l(tfrac1raiz3r)^2-3 =tfrac19-tfrac23-3 =-tfrac329

Resposta

a) Intervalos de crescimento: (-1,0) e (1,infty).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-1) e (0,1).
b) Extremos locais:
  • Mínimos em l(-1,-4r) e l(1,-4r).
  • Máximo em l(0,-3r).
c) Concavidade:
  • Côncavo para cima em l(-infty,-tfrac1raiz3r) e l(tfrac1raiz3,inftyr).
  • Côncavo para baixo em l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).
d) Pontos de inflexão em l(-tfrac1raiz3,-tfrac329r) e l(tfrac1raiz3,-tfrac329r).

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