Encontre o ponto de intersecção da reta dada com o plano dado:
b) x+33=y-2-1=z+1-5, x-2 y+z-15=0

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma simétrica
x+33 ;=;y-2-1;=;z+1-5
e o plano
x-2y+z-15=0
O conteúdo aqui é interseção de reta e plano: vamos passar a reta para forma paramétrica, identificar vetor diretor e vetor normal do plano, e verificar se há solução para o parâmetro.

Passo 2

Tomamos
t=x+33,
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x=3t-3, y=-1cdot t+2=-t+2, z=-5t-1
Daí concluímos que um ponto da reta é
P0=(-3,,2,,-1)
e o vetor diretor é
w=(3,,-1,,-5)

Passo 3

O plano tem vetor normal
n=(1,,-2,,1)
Calculamos o produto escalar
wcdotn =3cdot1+(-1)cdot(-2)+(-5)cdot1 =3+2-5=0
Como wcdotn=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Para ver se a reta está contida no plano ou é exterior a ele, substituímos a forma paramétrica na equação do plano:
(3t-3)-2(-t+2)+(-5t-1)-15=0
Isso dá
3t-3+2t-4-5t-1-15=0 Longrightarrow 0cdot t-23=0,
ou seja -23=0, impossível. Logo não há valor de t que satisfaça — a reta não corta nem pertence ao plano.

Resposta

A reta e o plano são paralelos e não têm ponto de interseção.

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