Determine os valores das constantes c_{1}, c_{2} e c_{3} para que o sistema a seguir admita solução:
\left\{\begin{array}{l} 3 x-6 y+2 z-w=c_{1} \\\\ -2 x+4 y+z+3 w=c_{2} \\\ \quad z+w=c_{3} \\\ x-2 y+z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os valores das constantes c_{1}, c_{2} e c_{3} para que o sistema
\left\{\begin{array}{l} 3 x-6 y+2 z-w=c_{1} \\[4pt] -2 x+4 y+z+3 w=c_{2} \\[4pt] z+w=c_{3} \\[4pt] x-2 y+z=0 \end{array}\right.
admita solução (isto é, seja consistente).
Informações dadas (todas as equações do sistema):
\begin{aligned} &(1)\quad 3x-6y+2z-w=c_{1},\\[4pt] &(2)\quad -2x+4y+z+3w=c_{2},\\[4pt] &(3)\quad z+w=c_{3},\\[4pt] &(4)\quad x-2y+z=0. \end{aligned}]

Passo 2

Estratégia escolhida: usar as equações que já isolam algumas combinações simples para expressar variáveis e substituir nas outras equações — isso reduz o sistema e revela condições sobre c_{1},c_{2},c_{3}. Vou usar a equação (4) para escrever x em função de y e z, e a equação (3) para escrever w em função de z e c_{3}.
Da equação (4) temos:
x-2y+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=2y-z.
Da equação (3) temos:
z+w=c_{3} \quad\Rightarrow\quad w=c_{3}-z.
Essas expressões permitem eliminar x e w nas equações (1) e (2).

Passo 3

Substituo x=2y-z e w=c_{3}-z na equação (1).
Começo substituindo termo a termo:
3x-6y+2z-w = 3(2y-z)-6y+2z-(c_{3}-z).
Agora calculo passo a passo:
3(2y-z)=6y-3z,
então
6y-3z-6y+2z-c_{3}+z.
Agrupando termos em y, em z e o termo constante:
(6y-6y) + (-3z+2z+z) - c_{3} = 0 + 0 - c_{3} = -c_{3}.
Portanto a expressão da esquerda da equação (1) após substituição vale -c_{3}. Como a equação (1) exige que isso seja igual a c_{1}, obtemos a condição
c_{1}=-c_{3}.

Passo 4

Agora substituo x=2y-z e w=c_{3}-z na equação (2).
Faço a substituição:
-2x+4y+z+3w = -2(2y-z)+4y+z+3(c_{3}-z).
Calculo os termos:
-2(2y-z)=-4y+2z,
então
-4y+2z+4y+z+3c_{3}-3z.
Agrupando:
(-4y+4y) + (2z+z-3z) + 3c_{3} = 0 + 0 + 3c_{3} = 3c_{3}.
Como a equação (2) pede que isso seja igual a c_{2}, obtemos a condição
c_{2}=3c_{3}.

Passo 5

Interpretação final: as equações (1) e (2), após substituir (3) e (4), não impõem restrições sobre y e z — elas só impõem condições sobre as constantes c_{1},c_{2},c_{3}. Assim o sistema é consistente precisamente quando as condições obtidas se verificam simultaneamente:
c_{1}=-c_{3}\quad\text{e}\quad c_{2}=3c_{3}.
Além disso, quando essas condições valem, há infinitas soluções: podemos escolher y e z livres (por exemplo y=s,\;z=t) e então
x=2y-z=2s-t,\qquad w=c_{3}-z=c_{3}-t,
o que mostra concretamente que existe solução (na verdade uma família de soluções) sempre que c_{1}=-c_{3} e c_{2}=3c_{3}.

Resposta

c_{1}=-c_{3}
c_{2}=3c_{3}

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