Estratégia escolhida: usar as equações que já isolam algumas combinações simples para expressar variáveis e substituir nas outras equações — isso reduz o sistema e revela condições sobre c_{1},c_{2},c_{3}. Vou usar a equação (4) para escrever x em função de y e z, e a equação (3) para escrever w em função de z e c_{3}.
Da equação (4) temos:
x-2y+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=2y-z.
Da equação (3) temos:
z+w=c_{3} \quad\Rightarrow\quad w=c_{3}-z.
Essas expressões permitem eliminar x e w nas equações (1) e (2).
Portanto a expressão da esquerda da equação (1) após substituição vale -c_{3}. Como a equação (1) exige que isso seja igual a c_{1}, obtemos a condição
c_{1}=-c_{3}.
Passo 4
Agora substituo x=2y-z e w=c_{3}-z na equação (2).
Como a equação (2) pede que isso seja igual a c_{2}, obtemos a condição
c_{2}=3c_{3}.
Passo 5
Interpretação final: as equações (1) e (2), após substituir (3) e (4), não impõem restrições sobre y e z — elas só impõem condições sobre as constantes c_{1},c_{2},c_{3}. Assim o sistema é consistente precisamente quando as condições obtidas se verificam simultaneamente:
c_{1}=-c_{3}\quad\text{e}\quad c_{2}=3c_{3}.
Além disso, quando essas condições valem, há infinitas soluções: podemos escolher y e z livres (por exemplo y=s,\;z=t) e então
x=2y-z=2s-t,\qquad w=c_{3}-z=c_{3}-t,
o que mostra concretamente que existe solução (na verdade uma família de soluções) sempre que c_{1}=-c_{3} e c_{2}=3c_{3}.