Determine para quais valores de constantes A e B a função f(x) será contínua no ponto x=1 :
f(x)= Ax+B, & x <= 1 1-x^2sen(pi x), & x>1

Passo 1

O problema quer achar os valores de [A) e para que a função
seja contínua em , vale
.
- Calcular esses limites (o da direita dá indeterminação , então vamos usar a regra de L’Hôpital ou uma expansão de ).]

Passo 2

Primeiro, o valor de f pelo ramo de x<=1, em x=1:
f(1)=A1+B=A+B
Isso é o “valor à esquerda” e também o valor da função no ponto.

Passo 3

Agora a gente olha o limite à direita, quando xto1^+:
limxto1^+1-x^2sin(pi x)
Note que, ao substituir x=1, dá tfrac00. Aí usamos a regra de L’Hôpital:
  • Derivada do numerador 1-x^2 é -2x.
  • Derivada do denominador sin(pi x) é picos(pi x).
    Logo
limxto1^+1-x^2sin(pi x) =limxto1^+-2xpicos(pi x) =-2cdot1picos(pi) =-2picdot(-1) =2pi
Teoria aplicada: regra de L’Hôpital para formas 0/0, depois avalia-se a fração resultante.

Passo 4

Para ter continuidade em x=1, o valor à esquerda ( A+B) deve ser igual ao limite à direita tfrac2pi. Ou seja,
A + B = 2pi

Resposta

Todos os pares (A,B) que satisfazem
boxedA + B = dfrac2pi

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